Zmn-1163 薛问天： 现代微积分没有排斥无穷小，它定义为极限等于0的变量。评沈卫国《1161》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生的《Zmn-1161》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

现代微积分没有排斥无穷小，它定义为

极限等于0的变量。评沈卫国《1161》 

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，沈卫国先生的错误主要表现在对无穷小的认识上。

他说【 第二代的极限法微积分，是彻底地排斥无穷小概念的！因为其目的就是取代第一代的无穷小微积分（会产生的贝克莱悖论）的。】这个对无穷小的认识是完全错误的。 第二代的极限法微积分，并没有排除无穷小这个概念。批判的是看作常数的无穷小。正是因为第一代的微积分把无穷小作为常数。把导数看作这两个无穷小常数dy和dx的比，在求导数时才产生要求dx不等于0和dx等于0的贝克莱悖论。第二代的微积分引入了极限概念，把无穷小看作是极限为0的变量。定义导数是增量比ᐃy/ᐃx的极限。要求ᐃx≠0。从而彻底排斥了贝克莱悖论。第二代微积分根本就没有排除无穷小概念，无穷小作为极限等于0的变量，以及进行无穷小的比较，讨论高级无穷小等概念和有关性质等，这些都成为微积分理论的重要组成部分，无穷小在整个理论中仍然起着很重要的作用。沈卫国先生说第二代微积分排除了作为以0为极限的变量的无穷小，完全不符合事实。怎么排除，能禁止极限不准为0吗。沈卫国先生这个错误源于他并没有真正认识第一代微积分中貝克莱悖论的实际内容是什么，再就是他不了解第二代微积分引入极限概念后，把无穷小定义为极限等于0的变量这一基本事实，属于认知的缺乏。

二，逃避不掉他认识错误的责任。

沈卫国先生说【 薛问天批了半天，都不知道该批的究竟是谁、谁的观点是什么，一股脑地把那些教师的观点（我写文的目的就是指出他们的错误的！），无差别地全算到我头上了，】

这是沈卫国先生在逃避他错误认识的责任。他明明说有两种认识，一种说教材有错，一种说教材无错。【 申兰珍2004年的一篇文章，是说导数概念就是速度，但按“高阶无穷小趋0速度就快”的教科书上的观点，二者会产生矛盾。然后一些教师对此提出异议，认为申兰珍搞错了，高阶无穷小本来就不是趋0的瞬时速度（导数）的快慢问题，而是离0点更近云云，是申老师对教材有误解，而教材没错。】

对这两种观点，你沈先生的观点是什么呢？白纸黑字，沈说【无穷小的诠释下，问题多多。我的文章，就是指出这点的。认为用有关教科书中的“趋0速度”来解释高阶无穷小不妥，而如果趋0速度高不是高阶无穷小的唯一刻画，高阶无穷小又是什么？又有什么意义？这反映了这个理论本身的乏力与问题，根本上就是错的。】

沈先生的结论认为教材述说的这个理论【根本上就是错误的】根据就是【认为用有关教科书中的“趋0速度”来解释高阶无穷小不妥】。而这就说明沈先生是同意和认可第一种观点，认为导数概念就是速度，就是高阶无穷小趋0速度，错误地认为这就是教科书上的观点，得到教材不妥的结论。

所以说沈先生逃避不掉他认识错误，认为【 教科书中的“趋0速度”来解释高阶无穷小不妥】的责任。

三，正确认识高级无穷小的定义和它的直观解释。

要正确认识高级无穷小的定义【设 α，β均为无穷小量，若lim α /β ＝0，则称 α较β高阶无穷小。】和它的直观解释【α比β趋于 0 的速度快】。怎样来理解直观解释【α比β趋于 0 的速度快】的含义呢？按照ε-δ的极限定义，【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】的意思是，α是β的高阶无穷小当且仅当，对任意小的ε>0，都存在这样的δ>0，当|x-x0丨<δ时，有|α/β丨<ε。直观上讲，就是越接近x0，丨α丨比丨β丨小得越多。对任意小的ε，都存在这样的δ，当x在x0的δ邻域中时，丨α丨比丨β丨ε倍还要小，丨α丨<ε丨β丨。这就是【α比β趋于 0 的速度快】的具体含义的解释。

从这个关于【α比β趋于 0 的速度快】的解释可以看出，这里所说的【极限趋于0的速度】同由α(x)和β(x)的导数定义的反映【函数变化的瞬时速度】完全不是一回事。

沈卫国说【难道导数所表征的瞬时速度不是速度？而申老师正是指出了这个导数所代表的速度，和那些教科书中的速度之间的矛盾。】

【 既然两个速度都是速度，那么，教科书中如果只取其一，就算是个定义，也是不妥的。凭什么只取一个速度而舍弃另一个？】    

这就是沈先生的认识错误，为什么【速度】 只有一种，为什么不能有不同情况下的【速度】。数学上是完全可以定义不同情况下的速度，一种是【极限趋于0的速度】，一种是导数定义的【函数值变化的瞬时速度】。【α比β趋于 0 的速度快】的含义是【 对任意小的ε，都存在这样的δ，当x在x0的δ邻域中时，丨α丨比丨β丨ε倍还要小，】而 导数【 α`(x)>β`(x)】 的含义是【α(x)比β(x)的函数值变化的瞬时速度快】。

也就是说要区分【定义】和【直观解释】的不同。定义用的是数学语言表述的，所定义的概念的含义完全可由这些表述严格确定。如高级无穷小的定义用【设 α，β均为无穷小量，若lim α /β ＝0，则称 α较β高阶无穷小。】这里面用的是比值的极限等于0，这完全是有严格确切含义的数学语言，它的含义完全清楚。而直观解释【 α比β趋于 0 的速度快】，什么叫趋于0的速度，【 趋0速度究竟指的是什么】，没有数学定义，不是数学语言，它用的是直观语言。这些解释中的直观词𢑥的含义，必须根据定义的含义来理解，不能胡乱解释。它的含义只能是【 对任意小的ε，都存在这样的δ，当x在x0的δ邻域中时，丨α丨比丨β丨ε倍还要小。】

沈先生竟然不懂这个道理，说这是教科书的问题，说【教科书有瑕疵】。不懂这些解释中的直观词𢑥的含义，必须根据定义的含义来理解，不能胡乱解释。 沈先生竟然认可了这些解释说趋0速度快【无非是趋0的瞬时速度快或者离0更近两种 】，然后说【说法都不行，都解释不了何为趋0速度大。于是我说，这个问题无解，只能说明所谓高阶无穷小、趋0速度什么的，有问题。】这说明沈先生根本不懂 必须根据定义的含义来理解 【 趋0速度】的基本道理。

另外还说【 薛先生既然说什么“解释必须服从定义”，那么，究竟哪个是“解释”，哪个是“定义”？薛先生前面还认可的教材中的“解释”，居然变成了薛先生笔下的“定义”，而教材中的“定义”，却成了薛先生自己的“解释”，究竟谁服从谁？请问薛先生，您这里是不是“循环定义”或“循环解释”？】

这哪里是什么循环，直观解释的含义必须根据定义的含义来理解，解释必须服从定义，怎么连这点道理都不懂。

沈先生的一个大毛病，就是把自己吹嘘成一个大专家。似乎什么都懂。其实这完全是在吹牛。例如他冒装权威地说【 “速度快”以至于“趋0速度快”早就有定义】，【 “速度”、“趋0速度”本质上就是一个物理概念，它当然要有直观的运动学图像，谁叫它叫速度呢？】这完全错了，在物理学中只有【物体运动的速度】这个概念，哪里有【趋0速度】这个物理概念。更没有什么【 直观的运动学图像】。【 趋0速度快】根本没有定义， 这一切都是沈先生在不懂装懂，主观地胡乱猜想。【趋0速度快】的直观含义当然只能根据高级无穷小的定义来作直观地理解。是当x无限接近x0，距离小于δ时，|α(x)|比|β(x)|的ε倍还要小。

另外沈先生还拿【芝诺悖论】来这里作了很多错误地解释，更是毫无道理，毫不相干，就不在此赘说了。

四，正确认识函数值不同极限值相同的两个函数。

沈的逻辑不严密，有些数学的逻辑细节他搞不清楚。一个重要的他认识不清的一例子就是对在求导数时的第一步，在进行约分产生两个在ᐃx=0点函数值不同，但在ᐃx≠0点函数值相同的两个函数，它们在ᐃx→0时的极限值相同。

求y=x^2的导数，

第一步，F(ᐃx)=ᐃy/ᐃx=(2xᐃx+ᐃxᐃx)/ᐃx=(2x+ᐃx)ᐃx/ᐃx。

在ᐃx≠0时，ᐃx/ᐃx=1，可消去得 F(ᐃx)=G(ᐃx)=2x+ᐃx。

注意F(ᐃx)和G(ᐃx)这是两个在ᐃx=0点的函数值不同，F(0)=0/0没有意义，G(0)=2x，但在ᐃx≠0的所有点，函数值却完全相同的两个函数。从而这两个函数尽菅 在ᐃx=0点的函数数值不同，但当ᐃx→0时的极限值确是相同的。对此沈先生竟然理解不了，说什么【用定义域内的函数值来求定义域内的极限值，是无问题的，当然是可以的。但涉及定义域外的极限值，却要用定义域内的函数值来得到，没有任何道理。】莫明其妙地提出什么【定义域外的极限值】。沈先生，你这概念从何而来？

另外由于ᐃx≠0时ᐃx/ᐃx=1，从式中消去，却要硬说是ᐃx→1，同求ᐃx→0时的极限发生冲突。这一切表述都说明沈先生就没有弄懂什么是极限。

五，关于第二代微积分不存在【舍弃】的问题。

要知道所谓的【舍弃】，是第一代微积分为了解释它的无穷小不等于0，而又等于0的矛盾所提出的一种辩解。认为【舍弃】的是不等于0的无穷小。当然这是解除不了这个悖论的。

第二代微积分引入了极限的概念，是极限等于A，这里并没有要求作任何的【舍弃】。无穷小的极限等于0，并不是【舍弃】了什么东西，才等于0。所以第二代微积分根本不涉及【舍弃】的问题。而沈卫国先生却说【 如果不是0，你说没有舍弃的问题，那么请问薛先生，这个高阶无穷小哪里去了？】这种问话在逻辑上就是混乱不堪的。无穷小哪也没去，它不是0就是不是0，它的极限是0，不是说就可以【舍弃】掉，变为0。可見沈先生根本没有弄懂极限的基本概念。

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