Zmn-1148 薛问天: 二代微积分中明确要求Δx≠0时才有微商等于导数。评师教民先生的《1146》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1146》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

二代微积分中明确要求Δx≠0时才有微商等于导数

评师教民先生的《1146》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，师教民先生的《1146》明确说是【评薛问天先生的文章1122】。显然是对我《1122》的回应。

我在《1122》《不能用随意歪曲和诬蔑来否定极限理论》．主要是批判了师教民先生的五句话。内容如下。

第一句他说【极限理论本来是为了解决贝克莱悖论而产生的，】

这句话基本没错，极限理论不是【本来】，而是【就是】解决貝克莱悖论而产生的。因而首先要搞清什么是貝克莱悖论。所指的Δx=0和Δx≠0的矛盾是什么。在第一代微积分求y=x^2的导数时，第一步在Δx≠0的条件下求出导数y´=Δy/Δx=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx=2x+Δx，第二步令式中Δx=0，使导数y´=2x。在这两步求导数中，第一步假定Δx≠0，第二步令Δx=0，是同时要求Δx=0和Δx≠0，当然存存Δx=0和Δx≠0的矛盾。极限理论就在解决这个矛盾。在求导数中一直假定Δx≠0。所以克服了这个矛盾。

第二句他说【所以极限理论就把贝克莱悖论中的Δx=0用Δx→0时的极限值掩盖起来．】

这当然说得不对，不是【掩盖】，而是把导数定义为Δy/Δx在Δx→0时的极限。明确说明求极限时要求Δx≠0。

极限概念的引入，这是重大的概念不同，怎么师先生把它歪曲成仅仅是【加上极限符号】。不能把极限歪曲成是【极限符号】。

第三句他说【可是，后来又偷偷地把该极限值定义为Δx=0时的值，】

这就是师先生的有意歪曲了，是正大光明的说当Δx→0时Δx的极限是0，而不是Δx=0。师先生却说是【偷偷偷地把该极限值定义为Δx=0时的值】。这是师先生的故意歪曲和诬蔑。Δx的极限值为0，同Δx=0这是完全不同的概念。严格的数学推导，怎么能是随意的【加上】和【去掉】【极限符号】呢？我们讨论数学问题，要依据严格地逻辑推理，不能这样随意的歪曲和诬蔑。

第四句他说【所以最后还是保留了Δx≠0和Δx=0的矛盾，即最后还是保留了贝克莱悖论．】

他所说的【从而得Δx≠0和Δx=0的矛盾】是完全错误的。在用极限理论的整个求导过程中，根本没有用到Δx=0，都是在Δx≠0的条件下推导的。其中是Δx的极限等于0。所以引入了极限概念后，就在求导过程中免除了存存Δx=0和Δx≠0的矛盾。完全解除了貝克莱悖论。

第五句他说【这就是极限理论所犯的错误的最根本的老底儿．】就完全错了。

不是【极限理论所犯的错误】，而是师教民先生为了否定极限理论，所进行的无理的歪曲和诬蔑。

我仔细看了师教民的《1146》的回应，对于我在《1122》中主要的批评意見，提不出，也没有提出任何反对意見。那我只能作这样的理解。那就是虽然口头上没有承认错误，但还是心服了，默认地承认了这些错误。

二，师教民先生只是在《1146》中谈了对我在〖最后再谈一句〗中说的内容有不同看法。我说了【定义微分dy=y′Δx，dx=Δx时又说“允许Δx=0”】。师教民先生就认为【极限理论在定义导数=微商的概念中，就出现了Δx≠0和Δx=0的矛盾，也出现了分母为0的情形．这个矛盾就是极限理论所犯重大科学错误的最根本的老底儿．】

实际上，这是师教民先生认识上的错误，关键是师教民先生没有搞清什么是貝克莱悖论。所指的Δx=0和Δx≠0的矛盾是什么。要知道Δx是增量，当然允许有时Δx=0和有时Δx≠0，定义微分dy=y′Δx，dx=Δx时说“允许Δx=0” ，并不是矛盾。貝克莱悖论指的是求导数时不能要求Δx=0和Δx≠0同时成立。也就是说一代微积分求导数时要求Δx=0和Δx≠0同时成立，当然产生了矛盾。而第二代微积分要求求导数时Δx≠0，在不求导数时允许Δx=0，当然就不存在任何矛盾。

师教民认为微商=导数时【允许Δx=0】这是错误的。我们来看师教民先生所引《高等数学》中的原文。【通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx．于是函数y=f (x)的微分又可记作dy=f ′(x)dx．从而有dy/dx=f ′(x)．...】写得非常清楚，是由【dy=f ′(x)dx】．用【从而有】几个字推出【dy/dx=f ′(x)】．这是最基本的数学常识，一个等式两端同除以dx，相除后等式能够相等，这个除数dx当然要求不等于0。也就是说由【dy=f ′(x)dx】推出【dy/dx=f ′(x)】．是在要求dx≠0的条件下进行的。清楚了吧，在二代微积分中由dy=f´(x)dx推出dy/dx=f´(x)时，明确要求Δx≠0。也就是说在二代微积分中，明确在求导数时要求Δx≠0，在说微商=导数，dy/dx=f´(x)时，也明确要求Δx≠0。即在Δx≠0时才有微商=导数，dy/dx=f´(x)成立。即在Δx=0时，【微商=导数，dy/dx=f´(x)】并不成立。即对于微分的定义【dy=f ′(x)dx】一般情况下允许dx=0。但在证明和推出【dy/dx=f ′(x)】时要求dx≠0。师教民没有认识到这个重要条件，是他犯的严重错误。他由此得出结论说认为【极限理论在定义导数=微商的概念中，就出现了Δx≠0和Δx=0的矛盾，也出现了分母为0的情形．这个矛盾就是极限理论所犯重大科学错误的最根本的老底儿．】就是错上加错了。

所以这里并没有极限理论的错误，而是师教民先生认识的错误。

所以我们还是劝师教民先生赶快对自己认识上的错误多多承认，不要再说那些滑天下之大稽的笑话了。

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