图1. 圆柱绕流后面的卡门涡街。

本文讨论旋涡稳定性问题。

钝体绕流后形成的卡门涡街现象（图1），自从1911年冯卡门在德国哥廷根大学的流体力学实验室里被发现以来，已经过去了一个世纪了。可是，对于卡门涡街中，层流转捩为湍流的物理机理，仍然没有得到很好的理解。这个问题的研究具有很高的理论意义及实用价值。例如1940年美国的塔科马大桥，在建成通车4个月后就在一次遭遇大风袭击下，桥面发生了高振幅的波动而遭到破坏。冯卡门利用不稳定的卡门涡街现象的原理，解释了事故的原因，是卡门涡街失稳导致尾迹发生交替的不对称的压力脉动，引起桥梁的上下交变风载荷与桥梁发生“共振”所致（图2和图3），称为“涡致振动”。

下面就对卡门涡街由层流转捩为湍流的物理机理，进行讨论。

图2. 1940年美国的塔科马大桥建成后的情况

图3. 1940年美国的塔科马大桥遭到破坏后的情况

（一）定常旋涡与非定常旋涡

旋涡流动是流体动力学的一个重要研究领域。在流体力学研究领域里，湍流与漩涡的关系一直是鸡生蛋和蛋生鸡的问题，还没有得到深入的理解。1990年代，国外和国内都曾出版了“旋涡动力学”的专著，对此问题进行了深入研究。可是，众所周知，由于湍流研究存在的困难没有解决，旋涡与湍流的关系至今没有得到彻底澄清。

众所周知，湍流里面普遍存在旋涡，可以说，没有旋涡就没有湍流。反过来，没有湍流就没有旋涡，不一定成立。也就是说，湍流一定都是漩涡的，可是旋涡不一定都是湍流的，层流也有旋涡。

根据我们以前利用能量梯度理论进行的研究【1-3】，湍流产生的必要和充分条件是流场中存在纳维-斯托克斯方程的奇点。因为奇点必须是非定常流动中才能产生的，这样，定常流动中就没有湍流，所以说，定常流动中的旋涡都是层流的。

相对地，因为湍流都是非定常的运动，所以说，湍流的漩涡都是非定常的。

对于非定常的漩涡，是层流旋涡，还是湍流旋涡，判断起来有些难度，这要根据流动是层流还是湍流来判断。层流的旋涡，发生非定常现象，但是不一定是湍流。非定常的漩涡，如果内部有奇点出现，有湍流产生，才是湍流旋涡。

图4. 圆柱绕流后面尾迹随雷诺数的变化（图片来自网络）。本文对此图片解释如下：（a）层流；（b）层流旋涡；（c）卡门涡街，非定常的层流旋涡；（d）湍流尾迹，湍流旋涡；（e）湍流尾迹，湍流旋涡。

例如，圆柱绕流尾迹的失稳（如图4所示），是由旋涡内部自身引起的不稳定产生的【4】。（1）圆柱绕流后缘附着的2个旋涡是层流旋涡（层流）。（2）尾迹里，刚刚脱落的漩涡是非定常的，但是仍是层流漩涡（转捩前半阶段）。（3）然后，在紧接着的下游，旋涡中心失稳，旋涡内部中心位置部分是湍流的，外部大部分仍是层流的（转捩后半阶段）。（4）再下游，整个旋涡发展为湍流（湍流）。

这与边界层流动的湍流转捩过程，何其相似，平板边界层转捩也发生了下面4个过程：

（1）从平板边界层前缘开始是，层流边界层+TS波（层流）。（2）后面是Lambda涡、轴向涡形成及非定常的三维旋涡结构，是层流漩涡（转捩前半阶段）。（3）然后，在紧接着的下游，奇点出现并爆发产生spike导致非线性失稳，发生“猝发”，猝发并导致形成“湍流斑”，这一阶段是层流部分与湍流部分共同存在的阶段（转捩后半阶段）。（4）再下游，整个近壁流动趋于发展为完全发展的湍流（湍流）。

因此，Niu et al (2024)通过数值模拟（LES）和能量梯度理论研究得出结论【5】：尾迹流动与边界层流动中的湍流转捩机理是完全相同的，也是唯一的，即纳维-斯托克斯方程的奇点导致了湍流。

自然界也存在非定常旋涡与定常的漩涡组成复合涡的情况。例如，龙卷风的外部区域是基本定常的层流的旋涡，而涡核内部为非定常的湍流旋涡。

（二）卡门涡街的失稳机理

通过实验研究和数值计算，我们知道，钝体绕流后尾迹流动，在雷诺数足够高时，尾迹两侧呈现两列互相交错的漩涡，这种现象称为“卡门涡街”。当雷诺数进一步提高，尾迹流动中发生了湍流转捩，沿着尾迹运动方向，在近钝体绕流区，旋涡是层流旋涡，中部是转捩区域，远处是湍流旋涡。

经过100多年对卡门涡街的研究，目前对于尾迹中层流漩涡转捩为湍流漩涡的机理理解甚少，也不存在转捩的准侧。

文献【1】中，首次提出，自由剪切流动中（尾迹、射流、混合层等）的湍流产生的机理，与壁面流动中湍流产生的机理是完全相同的。所有的剪切流动中，湍流产生/湍流转捩，都是由纳维-斯托克斯方程的奇点导致的。

研究发现，当旋涡附着在物体上时，一定是层流旋涡；只有当漩涡脱落后，层流漩涡才有可能转捩为湍流。原因分析如下，并与文献【1】提出的旋涡稳定性准则相一致。

当旋涡附着在圆柱后缘附近时，没有脱落，旋涡中心位置的速度一直是零，旋涡内部的速度是连续的，没有形成奇点，不会导致湍流，如图4（b）所示，这2个旋涡是层流的旋涡。

当旋涡脱落后，相当于旋涡在流动中运动，或者说旋涡被叠加在了剪切流动当中。这样由于旋涡的运动，导致了剪切流动的流向速度剖面上产生了拐点（伴随着Poisson方程的奇点），奇点发生在涡心位置，此处速度发生了间断。因此，尾迹中的旋涡运动形成了流场中的一系列运动的奇点。（文献【1】的125-129页）。奇点引起速度间断，而产生湍流。这才是尾迹中湍流产生的真正原因。如图5所示。

图5. 旋涡流动湍流转捩原理图。

Dou and Ben (2015)通过计算研究，利用能量梯度理论进行理论分析，首次发现，圆柱绕流尾迹中，旋涡中心位置的能量梯度函数K具有最大值，此处是最不稳定的地方，是尾迹流动中湍流转捩的起源，理论研究结果与日本学者的实验结果一致【4】。

Niu et al (2024) 对圆球绕流进行了LES数值模拟【5】，发现了与圆球绕流尾迹中，涡心位置是最先产生速度spike的地方，涡心产生了奇点的爆发，导致Burst发生，形成了“上抛”和“下掠”循环运动，这样产生了湍流涨落的动力，最后引起湍流转捩。这个过程与平板边界层流动发生的湍流转捩完全相同，如图6和图7所示。

图6. 圆球绕流尾迹中的旋涡结构。涡头和涡腿位置的“上抛”和“下掠”，与边界层流动里的旋涡结构相同【5】。

图7. 圆球绕流尾迹中奇点的出现。（a）to （c）,从圆球后面到尾迹远处的流向速度随时间分布【5】。

上述理论与计算研究的结果是明显容易理解的，因为这些流动都是由纳维-斯托克斯方程控制的，那么，其湍流产生机理就在方程里面，湍流产生机理由此方程唯一地决定。

简单说来，卡门涡街的失稳机理，就是，旋涡不脱落时，没有奇点，流动不失稳。旋涡脱落了，涡心成为了奇点，此处产生幅值非常大的spike，然后流动就失稳了，发生了速度振动，最后转捩成了湍流。

（三）关于“湍流产生旋涡”还是“旋涡产生湍流”的问题

几十年来，湍流与旋涡，鸡生蛋还是蛋生鸡的问题，没有弄清楚，主要是由于2个原因，（1）湍流产生的原因不知道；（2）层流旋涡和湍流旋涡没有区分清楚。只要这2个问题搞清楚了，鸡生蛋还是蛋生鸡的问题，就迎刃而解了。

现在我们知道【1-3】，湍流是由于奇点爆发引起的，就知道了湍流不是旋涡产生的，不是旋涡诱导的，但是旋涡可以提供产生湍流的环境和条件。例如在边界层流动中，流向涡导致了两涡中分面上的高剪切层，剪切层引起速度亏损，在扰动作用下，剪切层引起奇点，这样湍流就产生了。湍流产生进一步引起了展向涡产生和旋涡拉伸，这样才有发卡涡的生成。

在圆柱绕流尾迹中，旋涡脱落，在尾迹流动中引起奇点产生，奇点失稳导致湍流脉动，使得尾迹中的旋涡最后破碎，尾迹成为完全发展的湍流。在这里旋涡仍然是提供了产生湍流的速度剖面，提供了产生湍流的条件，旋涡并不直接产生湍流。

圆柱后缘附着的2个旋涡，是定常的，是层流漩涡，没有提供湍流产生的条件，所以不导致湍流产生。当旋涡脱落后，旋涡为湍流产生提供了条件，才导致了湍流产生。

旋涡产生湍流，是一个很不正确的想法。毋容置疑，湍流是一个临界现象。如果旋涡产生湍流，那么旋涡旋转多么快或者涡量多高才能产生湍流？直观上就没有道理。另一个没有得到验证的错误论述是，旋涡拉伸产生湍流（顶级期刊上许多文章都讲过）。事实是，计算及实验均表明，湍流产生时，引起了旋涡的拉伸，并不是旋涡拉伸产生湍流【1】。

（四）结论：

（1）卡门涡街失稳的机理是，运动的漩涡与剪切流动产生干扰，导致旋涡中心位置产生奇点和湍流“猝发burst”，并引起上抛和下掠，产生高的剪切应力。旋涡中心的失稳，最终在高雷诺数下，引起了湍流转捩，使得下游整个尾迹变为湍流的【4，5】。

（2）旋涡并不直接产生湍流，但是可以提供产生湍流的条件。理论、实验与计算证明，湍流产生是依靠奇点爆发产生的。湍流可以产生旋涡，这种旋涡是非定常的，并同时产生湍流剪切应力。

（3）奇点爆发（blow up）产生湍流，并形成湍流的大涡。然后，大涡通过奇点分岔和谐振产生一系列小的旋涡。湍流产生的漩涡，在惯性子区内，Kolmogorov的标度律，与大部分高雷诺数的实验数据符合。

（4）奇点爆发（blow up）: 对奇点有两种定义，一是Leray（1934）的定义，在奇点速度趋于无穷大（爆发blow up）。一种是Dou（2021）的定义【2】，在奇点速度发生间断u=0（涡量爆发blow up，而不是速度爆发blow up）。

（5）卡门涡街湍流转捩的物理机理与平板边界层流动中发生的events是完全一样的【5】，湍流转捩的准则由奇点唯一地决定。这样也说明平板边界层湍流转捩发生的物理现象与壁面没有本质关系。此外，也说明了所有的湍流的壁面模型只是部分正确的，可以存在与壁面无关的湍流模型，同时适用于壁面流动和自由剪切流动。

这些结论是理论（能量梯度理论+Navier-Stokes方程）、数值模拟（DNS/LES）和实验测量都互相符合一致的结果。过去100多年来的其他理论，都不能解释卡门涡街湍流转捩的物理机理，所以也就不能与数值模拟和实验测量获得一致。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.

https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7   (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063   (AAMM);

https://arxiv.org/abs/1805.12053v10   (Arxiv） （通过物理学推导出奇点）

3. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, 

Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339   （通过数学推导出奇点）

4. Dou, H.-S., Ben, A., Simulation and instability investigation of the flow around a cylinder between two parallel walls, Journal of Thermal Science, 2015, 24(2), 140–148.  

https://www.researchgate.net/publication/330955287  https://arxiv.org/abs/1902.02460 

5. Niu, L., Dou, H.-S., Zhou, C., Xu, W., Turbulence generation in the transitional wake flow behind a sphere, Physics of Fluids, 36, 2024, 034127. https://doi.org/10.1063/5.0199349