电路是一种载流子传输系统。其中，电荷是载流子；导体及电容的电极是载流子容器；二端子的电压源、电感、电阻等元器件及其串联组合，是电荷的传输通道；传输通道将载流子从一个容器传输到另一个容器，实现电能与电信号的传输、转化（发光发热等）。载流子、载流子容器及传输通道等概念和特性已在 《“哥尼斯堡” 电路学(1) — 认识载流子》、《“哥尼斯堡”电路学(2)—认识载流子容器》、《“哥尼斯堡”电路学(3)-理解载流子传输》里进行了详细介绍。

类似的，自来水网络是一个以水为载流子的输送系统。在学习电路的过程中，不自觉的，会用水流类比电流，水压类比电压，带阻力的水管类比电阻元件等。为什么这种类比有效，因为“水路”和“电路”都是载流子传输系统，都包含一组载流子容器和传输通道，容器间通过传输通道互连，交换载流子。

从具体到一般，任意一个载流子传输系统，其中包含X个载流子容器，容器间通过 Y个传输通道互连（X和Y为正整数）。该系统的完整数学描述，由 4个公式 和 1组二端子元件的传输函数构成，归纳如下：

图1. 载流子传输系统的数学描述 

以上数学描述可绘制成图2所示的动力学模型[4]。该系统模型描绘了载流子容器（ECC, energy-carrier container）与传输通道（ECP, energy-carrier pipeline）间的物质和能量交换，即，

1）      载流子容器将传输通道输入或输出的载流子流量Q_cp储存起来，获得净流入量Q_n；

2）      容器产生与载流子净流入量Q_n对应的价格或势能v_n；

3）      容器的价格v_n，在传输通道的两端，形成价格差或势差v_cp;

4）      通道的v_cp，加上v_b，减去传输惯性（电路中的感应电势），形成总电压或费用v_EIS，用于驱动传输通道以一定的流速输出Q_cp。

图2. 载流子传输系统的动力学模型[4]

因此，载流子传输系统具有通用的动力学模型。下一步，将介绍载流子流（ECF, energy carrier flow）图，以描述动力学模型中的对象（ECC 和ECP）及其相互作用，… (未完待续)

附：系统模型变量释义

一）载流子容器及其定价公式

一个载流子传输系统，包含一组载流子容器，每个容器的状态由4个变量描述，即v_n， Q_n，Q_const，Q_e。其中，Q_n与 v_n 之间的关系式就是所谓的定价公式。

图3 总结了一组载流子容器及其通用的定价公式，其中，容器自身及其相互间的量-价比参数，构成了矩阵C_n。

图3. （a）一组载流子容器及其（b）定价公式

图4. 水路系统中的水箱及其水量-水压关系

图5. 虚拟城中的城区及其 持房产家庭数-房价 关系

图6. 电路中的导体及其 电量-电压 关系 

  这些变量及其关系，在“水路”中的示例见图4，在“虚拟城”中的示例见图5，在“电路”中的示例见图6。具体说明如下：

1）v_n，在“水路”中，是水箱的水位（对应产生水压）;

                     在“虚拟城”里，是城区房产的价位；

 在“电路”中，是导体的电位。

2）Q_n，在“水路”中，是水箱里存储的水量；

              在“虚拟城”里，是城区净流入家庭数量；

在“电路”中，是导体中的净电荷量。

相应的，Q_const，Q_e，则是与Q_n 对应的基准常量及其外部输入的调节量。

3) C_{n_i}，在“水路”中，是水箱上升单位水位对应增加的水容量；

      在“虚拟城”中，是城区房价上升一个单位对应增加的家庭净流入量；

  在电路中，是导体自身的总电容，是导体电压上升一伏特对应增加的电荷量。

4) C_{n_ij}，在“水路”中，水箱间，不接触，不会相互影响，因此C_{n_ij} = 0；

       在“虚拟城”中，是城区i房价上升一个单位引发城区j增加的家庭流入量（受市场影响）。

    在“电路”中，是导体i与导体j的互电容（通过电场相互作用）。

二）传输通道及其传输消耗公式

载流子传输通道实现载流子容器的连通，输送载流子，同时从容器间获得势差。每个通道的状态由4个变量描述，即v_EIS， v_cp， v_b，Q_cp。其中，Q_cp与 v_EIS 之间的关系式就是所谓的传输消耗公式。

图7 总结了一组传输通道的构成及其传输消耗公式。其中，通道自身及其相互作用的惯性系数，构成了矩阵L_cp。

图8 总结了容器与通道间的相互作用。其中，容器储量公式 描述了容器 载流子净流入量与通道间流量关系；通道势差公式，描述了传输通道价（势）差与容器价（电）位的关系；关联矩阵σ_n定义了容器与通道间的连通关系。 

图7.载流子传输通道及其传输消耗公式（以电路元件为例）

图8.载流子容器与传输通道间的关联矩阵、储量公式、势差公式

图9.仿照“哥尼斯堡”搭建的载流子传输系统：(a)输水系统，（b）虚拟城市，（c）类比电路。连接载流子容器的传输通道：（d）水管，（e）桥，（f）二端子元件串行连接构成的线路。 

  这些变量及其关系，在“水路”中，“虚拟城”中，以及“电路”中的具体含义，如图9所示。具体说明如下：

1）Q_cp，在“水路”中，是通过管道的水流量; 一个容器所连接管道流量的代数和即为该容器的储水量Q_n；

   在“虚拟城”里，是通过桥迁移的家庭数量；一个城区所联通桥的流量的代数和即为该城区的家庭净流入数Q_n；

 在“电路”中，是通过元件的电荷量。一个导体的净电荷数Q_n，等于其所接线路流量的代数和。

2）v_cp，在“水路”中，是水管两端所在容器的水压差，等于水管正端所接水箱的水压 减去 负端所接水箱的水压；

       在“虚拟城”里，是桥两端所在城区的房价差，等于桥正端的所在城区房价 减去 其负端 所在城区的房价；  

   在“电路”中，是联通两块导体的元件串行线路两端的电压差，等于串行线路正端所接导体的电压 减去 负端所接导体的电压。

3）v_b，在“水路”中，是水管中增压泵提供的额外水压;

                   在“虚拟城”里，是桥中对迁移家庭进行补贴或收税；

          在“电路”中，是元件串行线路中接入的偏置电压源。

4）v_EIS，在“水路”中，是水流通过该水管，要抵抗的总阻力；

                 在“虚拟城”里，是家庭通过该桥完成迁移，要消耗的总费用；

         在“电路”中，是电荷通过元件消耗的总电压。

5) L_{cp_i}，在“水路”中，是水流的惯性参数，水流加速产生惯性阻力；

      在“虚拟城”中，是居民迁移的惯性参数；迁移加速产生惯性费用；

  在“电路”中，是元件串行线路的自感。

6) M_{cp_kj}，在“水路”中，M_{cp_kj} = 0 ，因为水管之间，不接触，不会相互影响； 

         在“虚拟城”中，反映了桥i居民迁移加速度对桥j迁移费用的影响（受市场影响）；

       在“电路”中，是元件串行线路i与线路j间的互感（通过磁场相互作用）。

类比是一种本能思维模式，虽不严谨，但符合直觉，可以加快对复杂事物的理解。

电磁场通量分配模型（Electromagnetic-Flux-Distribution Model）[1]是一种以电荷和磁通为载流子，分析电路，特别是相位相关（phase-dependent）电路（如约瑟夫森结电路，相滑移结电路）的通用模型；其对应的 磁通流通图（Magnetic-Flux-Flow diagram，MFF diagram）[2][3]和电通流图（Electric-charge-flow diagram，ECF diagram）[4]是描绘电荷和磁通传输的新型交互式电路图，能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用，加深对电路功能的理解。特别的，MFF图 以磁通为载流子，直观地诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。

[1] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.

[2] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits,"  IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023

[3] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023.https://doi.org/10.48550/arXiv. 2308.01693

[4] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024.https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025