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“悖论”是英文paradox一词的意译,从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了悖论的定义:如果某一数学理论的公理看上去是真实的,它的推理规则也是合理的,但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题,那么,我们就说这个理论包含了一个悖论,在逻辑上不能自洽。
随机游走(Random Walk)是《随机过程》教科书中的一种基本随机过程。假设一个质点在数轴的整数点上做随机运动(图1),以S(n)表示质点在第n步时的位置,则S(n)可以描述一维简单随机游走可能到达的所有位置。
图1 一维简单随机游走示意图
下面我们根据一维简单随机游走的位置,计算随机游走的位置方差D[位置]。
(1)根据随机游走定义计算位置方差:
位置= S(n)
D[位置]=D[S(n)]=n≠0
上式表明:n大于等于1时,随机游走所有可能到达位置的方差不等于零。
(2)根据随机游走常返性计算位置方差:
随机游走常返性表明,随机游走可以返回原点无穷多次,也就是说,必定会发生“位置等于零”事件,即
位置=0
根据上式直接计算位置方差,有
D[位置]=D[0]=0
上式表明:n大于等于1时,随机游走的位置方差会无穷多次等于零。
显然,根据随机游走定义和随机游走常返性计算出的位置方差自相矛盾,表明《随机过程》随机游走理论包含悖论,在逻辑上不能自洽。
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