在牛顿时代，矢量力学可以相对简洁的刻画自由质点系的运动，同时带来了天文学的巨大发展。矢量力学是通过了解自由质点所受的全部力来确定其运动轨迹的，随着社会的进步及生产的需要，非自由质点系即受约束质点系的运动问题不断涌现，甚至成为人类生产生活中主要方面。

由于矢量力学是建立在最基本的时空概念上的，原则上是可以解决一切包括受约束系统动力学问题的，但是当质点系受约束个数较多时，每个约束在数学上均代表一个未知数，这样在求解这些未知量时便需要建立很多的方程式，建立和联解微分方程是很不方便的，所以受约束系统并不具备自由系统那样的受力明确性。

为解决上述的不便性，达朗贝尔用了一个代换思维成功地避开了未知约束力的困扰，同时有效解析到各质点的瞬时运动。整合达朗贝尔原理的真实意义如下：

不失一般性，现拿简单质点进行讨论。如上图，自由质点A所受唯一主动力为F_A，设其数值等于ma1+ma2，朝着质点B进行运动，在碰撞后的瞬间，作用在A上的合力变成ma1，很容易想到：原先所用在A上的主动力的一部分ma2是被质点B的碰撞（约束的本质）而严丝合缝地吞噬掉了，达朗贝尔称其为“损失的主动力”，所以对于质点A来讲，作用在其上的一部分主动力（ma₂）是和碰撞力（约束力）成平衡力系（如下图），图中F_BA是碰撞瞬间B质点传输给A质点的碰撞力（约束力），在这样的平衡环境下是可以运用虚功原理的。

所以质点系的约束力是可以通过损失的主动力去表达，而后者又可以通过主动力及质点受约束后的运动参数来表达，这样便避开了直接求解约束力的困扰。

以上便是达朗贝尔原理的本质阐述，从中我们可以看到，达朗贝尔其实是从动中寻找到了静的方面，在此基础上运用代换的思想将不方便求解的未知数代以直观的运动参数，最后再结合可能位移原理（虚功原理）求解质点的瞬时运动参数。

上一道例题：

图中，机构在铅垂面内运动，均质圆盘（半径为R）在地面上做纯滚动，均质杆AB（质心为C，长度为L）用光滑铰链与圆盘连接。已知各物体（质点）的质量和几何量，求质点系的运动微分方程。

解：

显然，图示机构含有包含有两个可能方向的位移，即x和θ。

对于整个质点系统，在达朗贝尔原理中的平衡力系中建立相应的虚功方程为：

这是关键的一步。式中，Fi为第i个质点上的主动力；ai为质点i实际加速度；δ_ri为质点i可能发生的虚位移。

本系统中包含两个质点，圆盘和刚性杆。分别分析各质点的主动力、实际加速度、虚位移。

先分析圆盘：

因为圆盘的运动包括质心平动和各部分质量绕质心转动，因此主动力为广义的主动力，质量、实际加速度和虚位移同理。

（1）圆盘平动时，主动力为Y方向的m₁g和X方向的0，实际加速度为Y方向的0和X方向的x”，虚位移为Y方向的0和X方向的δ_x，则损失的主动力所做虚功为-m₁x” δ_x。

（2）圆盘转动时，主动力矩为0，实际角加速度为α₁= x”/R，绕质心A 的转动惯量为J₁=m₁R²/2，虚角位移为δ_x/R。所以作用在圆盘上的瞬时力矩为m₁Rx”/2，则损失的主动力矩所做虚功为-m₁x”δ_x/2。

再分析刚性杆件：

（1）杆件绕A点转动时，主动力矩为0，实际角加速度为θ”，绕质心A 的转动惯量为J₁=m₂L²/12，虚角位移为δ_θ。所以作用在杆件上的瞬时力矩为θ”m₂L²/12，则损失的主动力矩所做虚功为：-δ_θθ”m₂L²/12。

（2）杆件平动时，在X方向：主动力为0，质心c的瞬时坐标为X_C=x+Lsinθ/2，则质心的瞬时实际加速度为x”+ Lθ” cosθ/2- Lθ’²sinθ/2，则质心在X方向所损失的力为-m₂( x”+ Lθ” cosθ/2- Lθ’²sinθ/2),虚位移δ_XC=δ_X+ Lδ_θ cosθ/2，因此X方向上损失的主动力所做虚功为：-m₂( x”+ Lθ” cosθ/2- Lθ’²sinθ/2) (δ_X+ Lδ_θ cosθ/2)；在Y方向：主动力为m₂g，质心c的瞬时坐标为Lcosθ/2，则质心的瞬时实际加速度为-Lθ” sinθ/2- Lθ’²cosθ/2，则质心在X方向所损失的力为m₂g-m₂( -Lθ” sinθ/2- Lθ’²cosθ/2), 虚位移δ_YC=- Lδ_θ sinθ/2，因此Y方向上损失的主动力所做虚功为：(m₂g-m₂( -Lθ” sinθ/2- Lθ’²cosθ/2) )*(- Lδ_θ sinθ/2)。

至此便分析完质点系内各质点在各个方向上失去的主动力做的虚功，然后将各方向各质点的虚功相加并令其等于0,并得到关于基本虚位移δ_x及δ_θ形如：εδ_x+ηδ_θ=0的微分方程，鉴于δ_x及δ_θ的任意性，有ε=η=0；即：

Lθ” /2+gsinθ+ x”cosθ+Lθ”/6=0                        （1）

(-3m₁/2-m₂) x”- m₂ Lθ” cosθ/2+ m₂ Lθ’² sinθ/2=0         (2)

该两式便是控制整个质点系运动的微分方程。

从解上题的过程中，我们发现：达朗贝尔原理的核心是寻找损失的广义主动力，分析中始终采用惯性参考系，即从未提及“惯性力”这个概念。一般教材中将惯性力“-ma”引入，实际上并不便于从根本上理解达朗贝尔原理。