一一献给所有学过“高等”数学的读者

相信本公众号的读者至少是学过高等数学的，

那么请问，过后（经历长短不等时期后）对它的印象如何？

也许高等数学给更多人留下的印象，

仍然是那些解题中的奇妙方法和证明中的高度技巧吧。

的确，须知那些成熟技巧可是积一代代先辈们的智慧结晶，被整理成既定“方法”留给我们的呢。

当然，还有一种看来无用的东西，并且无形，却更为有用地陪伴着影响着我们呢，

那就是蕴含在高等数学中的思想，已经悄悄融入我们的能力之中了。

不过，这里更要说的是，如果说有些问题是当初为了赶进度，

老师和学生都来不及细揣捉摸的话，

那么现在是时候捡回它们了。

特别是在通过上述各讲，知悉“终极大自然观”的基础上，再来“反刍”一下高等数学，

既能加深对上述总体知识的理解，更能必然地获得更多不一样的感受。

归纳起来可有如下六点：

1、惊喜，原来通向“终极大自然”的基础性问题就在高等数学背景之中嘞。

比如问，无理数究竟是什么？

无穷只是个距离概念吗？

开区间端点是什么状态？

为什么开、闭区间一样长？

对于任一有理数（几何点），最靠近它的点是什么？

圆周长为什么总是无理数？为何函数的导数是相应切线斜率？

“极限”方法使我们认清无穷了吗？

为何（十分自然的）0不是自然数？

无穷小 = 0吗？

等等，等等。

对于这些本来就隐藏在“高等数学”中的问题，尽管书上写的都正确，

但进入到这些问题时却没辙了，甚至还不无骄傲地说“这就是数学的奥妙”，

偶有提出质疑者也会被说成是“钻牛角尖”。

那么，现在可以正视它们了，且通过上述各讲已经基本上能做出回答了，至少知道回答的方向了。

特别还知道了，这些都是属于整个数学的基础性问题，甚至是理解、洞悉“大自然”的基本问题。

2、更能意识到，原来高等数学里也充斥着哲学。

比如微积分思想之深刻，曾使得宗教学、哲学都参与了这一数学争论，持续了两百多年，

而且还只是勉强地（非实质性的）得到平息呢。 

特别知道，包括以上诸例及系列数学谜题都是属于所谓“数学基础”问题，

其深刻性、基础性使得过去的数学对它们一直未能得到真正的明晰呢。

3、尤其知道，上述问题的诀窍都藏在（貌似简单的）“实轴”里。

“实轴”不就是高等数学中常接触到的对象吗？

看到高等数学能涉及到如此深刻的关乎“数学基础”的问题，太令人兴奋了。

同时也知道了“实轴”在揭示“终极大自然”上具有前哨性作用和地位，更加增进了对“实轴”的亲近和景仰。

原来，实轴中还有不少奥秘值得进一步去钻研消化和吸收的嘞。

比如，实轴是由两个具有本质差异的空间层次构成，这在过去是并不明晰的；

又如，经几千年建立起来的数学大厦，本质上其主体只是建立在实轴的（小半边天）“有理数集”上的；

再如，数学于上世纪初才（在系列悖论的刺激下）意识到，数学尚需寻根，且其“根”仍然在实轴之中；

但是，数学的根究竟藏在实轴的哪里？

一直未能数学地发掘出来，一直是“数学基础”的一个悬案。

4、再次体会到，数学（以及学数学）远不只在于它的公式、难题，证明、技巧，更是个提升思想的圣地。

哲学思辨“合情推理”能力也是基本的数学修养体现，

简单说，

哲学就是思想，就是“道”，它是藏在数学符号背后的。

    大家 =  专家 +  思想家

数学，“思想重于公式”，不可为其符号和语言的特殊性引偏了我们的注意力。

赞成“数学的最高境界是哲学”的说法，的确，任何数学成果同时也是通过哲学（思想）引领才获得的。

甚至如数学寻根，最后还是不得不提升到哲学上来，从思想层面去探索，才终于获得认识的。

不仅如此，作为一项伟大的“副产物”，

数学在回答了实轴结构之谜、揭示了无穷本质的基础上，

还顺藤摸瓜最终揭示出“终极客观世界”这一“大象”的本来面目。

5、进一步意识到了数学在科学中能有如此显赫地位并非偶然。

一是因为数学是唯一一门集中体现宇宙空间逻辑体系深刻性的科学，因此其思想性必然是深刻的；

二是因为数学是唯一一门能承认并一直伴随“无穷”概念发展的科学，且无穷的本质也藏在实轴中，正好，实轴是揭示终极大自然的基地和桥梁。

6、最后感想是，应该在高等数学的第一章中（哪怕是“结论式”地）正式给出构成实轴的两个空间层次，及其有理数集和无理数集的有关基本性质。

相信，只作“结论式”地交代是完全能够且容易接受的，但其意义却是非同小可的。

它既能使学生清醒明白地学习掌握到高等数学相关内容，

更能武装其思想受用一辈子。

不再像过去那样不敢追问为什么，只把注意力聚焦到解题技巧上去的非优形态了。

相信这也是现在来“反刍高等数学、消化实轴”的社会意义所在。

（高隆昌 E-mail:  glc5101@sina.com）