引用本文

秦廷华. 解最优控制问题结合同伦法的自适应拟谱方法. 自动化学报, 2019, 45(8): 1579-1585. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170551

QIN Ting-Hua. An Adaptive Pseudospectral Method Combined With Homotopy Method for Solving Optimal Control Problems. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2019, 45(8): 1579-1585. doi: 10.16383/j.aas.2018.c170551

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.2018.c170551

关键词

最优控制问题，自适应拟谱方法，同伦法，弱间断解，Bang-Bang控制 

摘要

针对弱间断最优控制问题和Bang-Bang最优控制问题，提出一种结合同伦法的自适应拟谱方法.Chebyshev拟谱方法转换原问题成为非线性规划问题.基于同伦法思想，同伦参数改变路径约束的界限，得到一系列比较光滑的最优控制问题.通过解这些问题得到原问题的不光滑解.文中证明了弱间断情况下数值解的收敛性.依据这收敛性和同伦参数，误差指示量可以捕捉不光滑点.本文方法与其他方法在数值算例中的对比表明，本文方法在精度和效率上都有明显优势.

文章导读

最优控制问题广泛存在于科学研究和实际工程各领域, 因为解析解通常难以找到, 所以许多学者致力于研究处理该问题的3类数值方法[1-2]:直接法、间接法和混合法.

拟谱方法是直接法的一种, 对光滑问题具有指数收敛率[3]是其诱人的优点.因为大量的实际问题有间断或弱间断[4]的不光滑解, 例如生产和维护最优控制问题, 所以有学者关注这一优点对应的反面缺点, 即不光滑点妨碍了拟谱方法的快速收敛[5].已经有各种自适应拟谱方法[5-8]可以捕捉不光滑点以改善逼近效果, 它们大都依据数值解提供的后验估计来捕捉不光滑点, 然后主要用两种手段来改善数值解精度, 一是设置网格点在不光滑点可能的位置附近, 二是依据估计的各区间光滑程度来调整区间内逼近多项式次数.

一些学者致力于同伦法解最优控制问题.文献[9-10]将同伦法的基本思想简单解释为"构造一个与原问题有联系但是相对容易求解的辅助问题, 从求解构造的容易问题出发, 通过迭代的方式逐步过渡到原来棘手的问题".

文献[11]研究燃料最优控制问题, 先用拟谱法解光滑的最优控制问题, 所得结果用于构造和估计协态, 并将该协态做为间接法解题的初始猜测, 然后用同伦法将光滑问题逐渐转变为不光滑的原问题, 在此过程中用间接法解题.文献[11]的思路还被文献[12]用于研究时间最优控制问题.文献[13]也采用类似的思路, 研究的问题模型更为特殊, 但是所得的协态正好为零, 这为同伦法和间接法解这类特殊的题带来便利.

文献[10]用同伦法将光滑的最优控制问题逐渐转变为不光滑的原问题, 产生的若干最优控制问题都用直接法中的自适应控制参数化方法(Adaptive control parametrization method)求解.文献[14]研究月面上升最优控制问题, 通过调整问题本身的参数得到易于求解的问题，然后用拟谱法和同伦法求解.

本文的思路来自以下三点:

1) 文献[8]在约束界限内寻找数列收敛到约束界限, 在数值解等于数列各元素时求根, 利用数值解的收敛性, 在根中寻找数列收敛到弱间断点.本文采用该思路, 而且用同伦法思想放宽约束界限, 这又带来两个好处, 一是可以在原问题约束界限之外寻找数列收敛到约束界限, 二是放宽约束界限可能增加问题的光滑性, 避免直接处理不光滑的原问题.

2) 文献[1]提到: Grigoriev用同伦法和间接法"先放松对推力幅值的限制进行求解, 再慢慢减少最大推力幅值进行求解, 用上一步的解作为下一步求解的初值, 直到得出符合推力幅值约束的结果".本文采用同样做法, 但使用的是同伦法和直接法.

3) 前述其他同伦法文献与文献[14]不同, 均调整人为加入的参数, 这些参数会改变原问题形式, 例如文献[10]需要构造一个易解的最优控制问题与人为加入的参数一起合并到原问题中, 其他文献往往也要改变目标函数的形式, 文献[14]仅调整问题本身的参数显然更为简单.本文将原问题自身的约束界限做为同伦参数予以调整, 避免了改变原问题形式.

本文方法的主要思想是:对约束上下界先放松再慢慢收紧, 用拟谱法解由此产生的多个最优控制问题, 并将上一个最优控制问题的解做为下一个求解的初值, 直到得出符合约束上下界的结果; 与此同时, 用数列收敛到约束上下界, 在约束方程等于数列各元素时求根, 在这些根中寻找数列收敛到不光滑点, 据此实现自适应调整网格点分布和逼近多项式次数.

图 1  表8中Tol=5/100对应的数值解

本文针对弱间断最优控制问题和Bang-Bang最优控制问题, 提出一种结合同伦法的自适应拟谱方法, 证明了数值解的收敛性和该方法捕捉弱间断点的能力, 据此设计的算法对含有弱间断点和Bang-Bang控制间断点的三个算例都有良好表现.本文方法主要有以下三个优点:

1) 本文结合同伦法与直接法, 避免了同伦法与间接法结合时以及单独使用某一方法时的缺点.

2) 本文中同伦法只调整约束界限的值, 不需为使用同伦法明显调整问题形式, 而问题形式的明显调整有时是很难想到的.

3) 数值实验表明, 与其他几种数值方法相比, 本文方法在时间和精度上有明显优势.

各种直接法有各自的优点, 本文的Chebyshev拟谱法在各种研究中可更换为其他直接法, 如此修改后的算法可以发挥相应直接法特有的长处.本文算法捕捉触碰到约束界限的两类不光滑点, 后续研究将考虑如何捕捉其他位置的弱间断点和间断点.

作者简介

秦廷华

重庆交通大学数学与统计学院讲师.2012年获得上海大学计算数学专业博士学位.主要研究方向为最优控制问题数值方法.E-mail:qintinghua@126.com