摘要：证明了在任何情况下，∞+1=∞ 不成立,认为∞是一个能表示发散的、符合四则运算规律的数或变量。

在传统数学中，

∞+1=∞                                                                                   (1)

通常是用来表示无穷大的性质。其意思是无论你在无穷大的基础上加上任何一个有限的数，结果仍然是无穷大。  

        然而，这种说法过于粗略。

证明(1)的方法是使用数学分析的方法。假设我们有一个无穷大的序列a₁, a₂, a₃, ...，那么当n趋近于无穷大时，这个序列也趋近于无穷大。现在我们加上1，得到序列a₁₊1, a₂+1, a₃+1, ...，但是无论加多少个1，这个序列仍然趋近于无穷大，由此即得(1)式。

然而，从这个证明过程可以看出，由于无限序列

a₁, a₂，a₃，……                                                                         (2)

和

a₁+1，a₂+1，a₃+1，……                                                           (3)

并不相同，所得到的∞末必相同，不应该用同一个符号表示，否则很容易把它们看作是完全相同的，从而造成一系列思想混乱。

在数学分析中，通常∞是一个表示发散的一个符号，似乎不把它当作一个数或变量。但在(1)式中，实际上已经把它当做数或变量在用了:如果不是数或变量，怎么能够加1，又怎么能够用等号联结？在求两个无穷大的比值这一不定式时，其实也是把它作为数或变量在应用，否则怎么可以求商？

既然是数或变量， 就应该符合四则运算，不同的数和变量也必须用不同的符号来表示，不能一律都用∞来模糊地表示。

例如，没有理由认为对序列(2)和(3)求极限的结果是一样的，不应该用同一个符号表示，也就是说，无法用数学分析来证明(1)。如果分别用∞和∞*表示对(2)和(3)求极限的结果，则(1)式应该改写为

∞+1=∞^*                                                                                     (4)

且没有理由认为∞=∞^*。事实上还很容易证明两者不一样:

n→∞时，

lim(a_n+1)- lim (a_n)=∞^*-∞= lim (a_n+1-a_n)=1≠0                        (5)

证明(1)的另一个方法是集合论中的无限旅馆悖论，该悖论认为，设无限多的旅馆住了无限多的旅客并已客满，并用∞表示旅客数，则再来一个旅客仍然能住，即(1)成立。

然而，旅客数不过是数数的结果，而任何数数都不过是一种加法:每数一个旅客，在数数结果上加1，对于无数个旅客，数数结果就是

∞=1+1+……                                                                               (6)

也就是说，虽然无穷大加1，得到的还是无穷大，但没有理由认为加1前的无穷大和加1后的无穷大完全一样，没有任何变化。

为此，本文将(1)改写成

∞+1=∞^′，并证明了当(6)成立时∞≠∞^′，(1)并不成立。

命题 若（6）成立，并设∞+1=∞^′，则∞≠∞^′。

证明(反证法):

设

由于∞是加法的结果，故其逆运算即减法也成立，故(6)可改写为

∞-1-1-……=0                                                                                (7)

假定

∞+1=∞ ，即  ∞=∞-1  或   

∞-1=∞     

由于∞减1后完全不变，再减1后也完全不变……减无数个1后也不会变，即

∞-1-1-……=∞                                                                                 (8)

显然与(7)矛盾，所以，原假定∞+1=∞ 不能成立，即∞+1≠∞，证毕

由此可见，无论是数学分析还是集合论中的无限旅馆悖论，都无法证明(1)成立。

事实上，任何悖论都是一种自相矛盾，例如在无限旅馆悖论中，已经客满了的旅馆，还可以加人，说明又没有客满，既客满又没有客满，显然是一种自相矛盾。把自相矛盾看做是无限的特点，本身就说明相关的理论是自相矛盾、完全错误的。这是因为，严肃的科学不允许任何自相矛盾，所以，用自相矛盾的悖论来证明任何一种命题本身就是一种不严肃的行为。

有的人认为可以用基数理论来解释无限旅馆悖论:根据现在的基数理论，无限集合是可以与其真子集一一对应。然而，在无限旅馆悖论中，无论是旅客数还是房间数，都是集合的元素数目，而元素数目并不一定是基数，所以无限旅馆悖论并不能用基数理论来解释。何况，笔者上一篇博文的命题8，已经证明了无限集合不可以与其真子集一一对应。

其实，既然把∞看作是一个数或变量，(1)就不可能成立:哪一个数或变量加1后精确地还是它自身？为了掩盖这个矛盾，就把∞看成是一个不是数或变量的符号，包括(1)在内的很多东西又无法解释。如果把它看成是无限本身具有的特点或性质，只能说明现在的无限理论根本就是自相矛盾的。

正确的做法是:承认∞是一个能表示发散的数或变量，并以此为基础，厘清数学中约的有关内容:在数学分析中，严格区别不同的无穷大，必要时必须用不同的符号例如∞₁，∞₂......来表示；在集合论中，也要做相应的修正，比如不能再允许任何悖论的存在。 相容集合论就是以消除任何悖论为宗旨的新的集合论。

此本文提出的这个证明，对传统数学是有根本性冲击的:严格来说，在任何情况下，(1)都不可能成立。