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皮亚诺(Giuseppe Peano,1858-1932)是意大利数学家、逻辑学家、语言学家,毕生致力于建立数学基础和发展形式逻辑语言,提出了著名的自然数公理化系统。
一,主要著作
皮亚诺的主要著作有《算术原理:用一种新方法的说明》(1889年)、同别人合著的《数学公式汇编》(或译为《数学的陈述》),这些著作使数学家的观点发生了深刻的变化,对嗣后为重新组织数学的努力,尤其对以尼古拉·布尔巴基为笔名的法国数学学派的纲领,产生了很大影响。罗素也从中得到很大启发,推动了他关于数学原理的观点的发展。罗素和怀海德在其合著的《数学原理》中,采用了皮亚诺的部分逻辑记号。
二,皮亚诺公理
皮亚诺于1889年发表算术原理新方法提出自然数的五条公理,即皮亚诺公理(Peano axioms),建立了自然数的理论。其中,第5公理就是数学归纳法的原理:
1. 0是自然数;
2. 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数;
3. 对于每个自然数b、c,b=c当且仅当b的后继数=c的后继数;
4. 0不是任何自然数的后继数;
5. 任意关于自然数的命题,如果证明:它对自然数0是真的,且假定它对自然数a为真时,可以证明对a' 也真。那么,命题对所有自然数都真。
三,皮亚诺算术
皮亚诺算术(PA)的公理:
1. ∀x (Sx≠0)
2. ∀x,y ((Sx=Sy) ⇒ x=y)
3. (φ(0) ∧ ∀x(φ(x) → φ(Sx)) ⇒∀xφ(x)
4. ∀x(x+0=x)
5. ∀x,y (x+Sy = S(x+y))
6. ∀x(x.0=0)
7. ∀x,y (x.Sy = (x.y)+x)
参考文献:
【1】https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E7%9A%AE%E4%BA%9A%E8%AF%BA%E5%85%AC%E7%90%86
【2】https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E6%9C%B1%E5%A1%9E%E4%BD%A9%C2%B7%E7%9A%AE%E4%BA%9E%E8%AB%BE
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