非线性动力学是动力学与控制学科的一个重要而活跃的分支，主要研究非线性系统各类运动模式和演化过程的定性和定量规律，尤其是不同运动模式之间相互转换和系统长时间行为的复杂性。非线性动力学旨在揭示现实世界及其相应数学模型所呈现的动态规律，发展研究非线性动力学问题的基本理论和方法，最终推动自然科学、工程技术、社会科学的发展。非线性动力学不仅是动力学与控制学科的重要组成部分，而且是现代科学技术的理论基础，对人们的世界观和方法论有深远的影响。

目录

1. 发展简史

2. 学科内容

   运动稳定性

   分岔

   混沌

   分形

   孤立子

3. 研究方法

   几何方法

   解析方法

   数值方法

   实验方法

4. 与相关分支学科关系

5. 意义与展望

扩展阅读

发展简史  人们对非线性动力学现象的认识至少可以上溯到1673年C. 惠更斯的两个实验发现，一个是单摆大幅运动不再具有微幅摆动的等时性，另一个是悬挂在同一结构上的两只频率接近的单摆运动会同步。

非线性广泛存在于力学问题中。例如，牛顿在1687年提出的万有引力定律揭示了引力随距离的非线性变化规律；欧拉在1755年建立的理想流体运动方程和在1760年建立的刚体定点运动的动力学方程，分别是非线性的偏/常微分方程。非线性动力学问题的早期研究，主要针对几种简单非线性系统的周期振动，并发现非线性系统的振动具有不满足线性叠加原理、可多种振动共存等特点。这些早期研究及其后续发展，现在习惯上归入非线性振动理论。现代非线性动力学的形成以19世纪末H. 庞加莱的研究工作为标志。他在1885年研究了旋转液体星平衡位形的分岔问题，在1894年发现了伴随横截同宿点产生的复杂运动，并在1905年阐明了这种复杂运动对初值敏感依赖而导致的不可预测性。这些研究具有重要原创性，对于非线性动力学发展具有极为深远的影响。

随着非线性动力学的发展，动力学与控制的经典分支学科—运动稳定性理论逐渐被纳入非线性动力学范畴。人们对稳定性的讨论由来已久。例如，1788年拉格朗日给出了保守系统稳定性的判据。1892年李雅普诺夫给出了系统关于初始条件稳定性的严格定义并提出了两种重要判别方法。20世纪50年代以后，运动稳定性研究获得很大发展，成为非线性动力学的重要组成部分。

近半个多世纪以来，人们对混沌的研究极大地促进了非线性动力学的发展。1954年A. N. 柯尔莫戈洛夫揭示了近可积保守系统的类随机运动产生机制，后来经过V. I. 阿诺德和J. 莫泽的严格数学证明而成为KAM定理。1963年S. 斯梅尔构造了马蹄映射，给出了非周期性和初值敏感性的数学描述。随后一系列数值工作表明，洛伦茨方程(1963)、上田振子(1973)、埃侬映射(1976)等非线性耗散系统均会呈现混沌现象。1975年李天岩和J. A. 约克尝试对区间映射给出混沌的数学定义。20世纪70年代后期，混沌与分岔和分形相交融，使得非线性动力学的内容更为丰富。

20世纪70年代以来，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学之中。1744年欧拉研究的压杆失稳是最早发现的分岔现象。作为数学分支的分岔理论在20世纪60年代已基本形成。70年代以后分岔与混沌间的关系受到重视。人们发现了非线性系统通过分岔进入混沌的几种典型途径，包括倍周期分岔(1978)、阵发性混沌(1980)、准周期环面破裂(1982)等。特别是F. J. 费根鲍姆所发现的倍周期分岔的普适性受到广泛关注。

20世纪70年代开创的分形几何对非线性动力学的发展和普及起了重要作用。康托集合(1883)和科克曲线(1875)均是分形的典型例子。1918年F. 豪斯道夫定义了可能为分数的维数，为分形研究做了数学准备。1975年B. B. 曼德勃罗建立了分形几何，以处理具有自相似性和无标度性的破碎几何形体。分形在80年代初被用以刻划奇怪吸引子，在80年代中后期被用以描述多吸引子系统吸引盆的边界。因此，分形也成为非线性动力学的组成部分。

孤立子研究起源于1834年S 罗素对长时间不变形水波的观察。1895年D. J. 科尔泰沃赫和G. de 弗里斯建立浅水波方程（即KdV方程），并获得一个精确行波解，被称为孤立波。在1962年和1965年，J. K. 佩林和T. H. R. 斯克姆、N. J. 扎布斯基和M. D. 克鲁斯卡分别在数值实验中发现Sine-Gordon方程和KdV方程的孤立波解在碰撞中具有粒子的性质，因此又称为孤立子。后续的大量研究表明，孤立子是许多非线性系统特有的动力学现象。

随着非线性动力学的发展，其工程应用也开始出现并日益广泛。20世纪90年代初，不仅出版了一些标题中有“非线性动力学”的教材和专著，而且几种国际期刊如Nonlinear Dynamics (1990) , Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science (1991), International Journal of Bifurcation and Chaos (1991), Chaos, Solitons & Fractals (1991)相继创立。这一切，标志着非线性动力学这一学科分支的形成。进入21世纪以来，非线性动力学在理论深度和应用广度方面都取得空前的发展。

学科内容  非线性动力学是在微分方程和动力系统等数学理论基础上，发展和应用解析方法、数值方法和实验技术，针对非线性系统(尤其是工程系统)的动态特性和响应进行建模、分析、仿真和控制，重点研究系统的运动稳定性、分岔、混沌、分形和孤立子等方面的问题。

运动稳定性  运动稳定性是指系统运动(包括平衡)在初始小扰动下基本保持不变的性质。在李雅普诺夫的经典贡献基础上，早期工作为李雅普诺夫理论的发展与完善，特别是线性化方法对各种具体力学系统的应用，以及直接方法中李雅普诺夫函数的构造。随着控制理论和工程的发展，系统输入输出稳定性受到关注。为满足航天等科技工程领域的需求，刚体-柔体-液体-控制耦合系统以及更广泛的大系统稳定性也受到关注。运动稳定性近期的研究侧重于具有参数不确定、非光滑、时间延迟等复杂系统。

分岔  分岔是指动力学系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。分岔的研究不仅揭示了动力学系统不同运动状态之间的相互转化规律，而且与混沌出现路径密切相关，成为非线性动力学的重要组成部分。分岔问题的研究主要包括分岔识别、保持分岔特性的系统降阶和简化、分岔数值计算和分岔控制等。分岔识别是指判定系统分岔的类型。保持分岔特性的系统降阶包括基于中心流形定理或李雅普诺夫-施密特约化的应用，系统简化为庞加莱-伯克霍夫范式或奇异性理论的应用。分岔的数值包括基于延续算法跟踪解曲线、判定解曲线上的分岔点并计算分岔点处的分岔方向，从而跟踪分岔后的解曲线。分岔控制包括调整分岔参数值、改变分岔类型或分岔后动力学行为、引入新的分岔等。

混沌  混沌是一种由确定性非线性系统产生的、对系统初值极为敏感而具有内禀随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。近年来，混沌研究已成为非线性动力学的主要研究方面，可包括混沌的数值识别、解析预测、数据建模、控制和同步化等。混沌的识别是指应用系统运动若干数值特征如李雅普诺夫指数、分形维数、功率谱、熵等判断该运动是否为混沌。混沌的解析预测是指在给定系统在运动开始之前便确定在其参数满足何种条件运动将呈现混沌性态。混沌的数据建模是指采用延迟坐标和确定嵌入维数从而提取隐含在部分系统数据中的原系统整体信息。混沌的控制是镇定混沌吸引子中的不稳定周期轨道或利用系统特性以较小的外界输入实现对周期目标的跟踪。混沌同步化通过耦合作用使得两个混沌系统有相同运动或以外界输入驱动混沌系统跟踪给定的混沌目标。

分形  分形是没有特征尺度而又具有自相似性的几何结构，适用于描述破碎、不规则的复杂几何形体。混沌与分形都是对复杂现象的描述，但侧重不同。混沌是动力学概念，说明时间过程的非周期性和随机性，其运动难以进行长期预测。分形是几何学概念，说明空间形体的不规则性和破碎性，其几何形态难以用单一的尺度描述。人们已在相空间中建立了几何学与动力学的联系。主要表现在两个方面，即系统的混沌吸引子一般是分形，多吸引子共存的动力系统的各吸引盆可能是分形。此外，有些全局分岔图也具有自相似性，可以用分形描述。

孤立子  对于孤立波非线性演化方程的局部行波解，若其稳定则称为孤立子。它的特点是相互碰撞后继续存在且波形和速度基本不变，是具有有限能量的无弥散解。孤立子及其相关孤立波已经有大量研究，包括演化方程的孤立波求解方法，典型演化方程的孤立子特性，无穷维系统的可积性及其守恒律，孤立子的几何结构高维孤立子的坍塌和稳定性等。

研究方法  非线性动力学研究方法包括几何方法、解析方法、数值方法和实验方法。不同方法之间可以互相支持、验证和补充。例如，几何方法可以和解析方法互相补充，前者得到动力系统大范围的定性结果，后者则在一定范围给出定量结果。又如，解析方法与数值方法可以互相验证，用精确解析解验证数值解，用数值解支持近似解析解。再如，实验现象可以通过对实验系统建模后，将实验结果与所建立数学模型的解析解或数值解进行比较验证。

几何方法  几何方法是对非线性系统的动力学行为进行定性分析。经典的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对系统运动的直观描述。在常微分方程定性理论基础上，可根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质，如用相平面内的奇点和极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。非线性动力学的现代发展要求几何方法研究新对象和新问题。现代几何方法包括对一些抽象几何结构的研究。这些抽象几何对象构建较为简单，但具有非线性系统的某些典型行为。例如，斯梅尔马蹄和符号动力系统，都具有初值敏感性和周期点非周期点共存。对这种抽象结构的研究，有助于人们在真实系统中发现相应的动力学行为。几何方法在非线性动力学研究中起着重要作用，不仅能得到直观的定性结果，而且可为其它研究方法提供理论依据。

解析方法  解析方法建立非线性动力学系统特性或响应与系统参数之间关系的数学表达式。该方法主要是在给定的初值或边值条件下，精确或近似求解描述动力学系统的非线性方程，包括非线性差分方程、非线性常微分方程，非线性偏微分方程，非线性积分方程等，导出的动力学特性或运动规律及其对系统参数和初始条件的依赖关系。非线性微分方程的精确解析解通常涉及非初等函数(如椭圆函数)的引入和研究。能够得到精确解的非线性系统(即可积系统)较为有限，但精确解是摄动分析的基础，也可以用于检验数值算法。更常用的解析方法是近似解析方法。这类方法多用于弱非线性系统，即与线性系统十分接近的非线性系统，通常以退化线性系统的精确解为基础，将非线性因素作为一种摄动求出近似的解析解。这些近似解析方法原则上可应用于特殊的强非线性系统。如果存在与之相近而又精确可积的非线性系统，则可对精确的非线性解进行摄动。任何一种近似解析方法所得到的结果都是近似的结果，必须与其它方法互相印证。解析方法的主要局限是应用范围有限，仅适用于研究可积和近可积的系统的平衡和周期性运动。解析方法得到的解未必具有稳定性，因此可能不是实际问题中能出现的运动。

数值方法  数值方法是通过计算求出非线性动力学方程在特定的参数条件和初始和边界条件得下的数值解，以揭示系统的动力学特性、验证理论结果或发现新现象。数值方法既可以计算具体非线性系统的各种运动，包括平衡、周期运动和非周期运动，也可以数值确定参数对系统运动的影响，还可以通过数值确定吸引盆及其边界分析初始条件对系统运动的影响。由于处理非线性振动问题的数学工具尚不完备，数值方法起着非常重要甚至是不可替代的作用。数值方法在非线性动力学中的突出作用是发现新现象，例如混沌和分岔的一些特性。数值方法还可以补充理论结果，使一些理论结果定量化或揭示有关条件不成立时发生的情况。数值方法还可以借助具体直观的结果为一般理论研究提供启示，激发灵感。尽管数值方法是探索非线性动力学的强有力工具，但数值研究只能在有限精度下进行。即使不考虑建立系统模型本身的误差，数值方法在应用过程中也不可避免的存在截断误差和舍入误差。所以数值计算的结果必须仔细检验和诠释，用直观和理论加以印证，并仅仅应用于它所适用的场合和目的。

实验方法  实验方法是指用人们有目的的用可控制的物质手段改变非线性系统而获得其性质或状态的信息。实验装置通常包括被测试非线性系统，受控制的外部激励源和实验信号的采集、转换、分析和处理系统。在基础研究中，实验研究不仅能证实现有理论的正确性，还可能突破原有理论框架，揭示新的现象和规律。在应用研究中，实验是非线性动力学从理论到应用不可缺少的中间环节，既可验证理论模型的正确性和精度，又可在缺少理论模型时提供基于实验数据的唯像模型。此外，一些直观的演示性实验有助于人们对非线性动力学的理解，加速知识的传播。实验工作是理论结果的先导、补充和验证。

与相关分支学科关系 非线性动力学是综合数学理论、物理概念、计算技术和实验方法研究非线性系统、特别是工程系统的定性和定量动态行为，具有多学科交叉的特点。因此，它与力学、数学、物理中其他分支学科既有广泛联系，又有显著区别。这些分支学科包括振动力学中的非线性振动，数学中的微分方程和动力学系统、分岔理论，物理学中的非线性物理学，自动控制理论中的非线性系统理论等。

非线性动力学与非线性振动有着密不可分的联系。广义而言，可以认为非线性振动是非线性动力学的一部分。总体上，非线性振动主要关注系统平衡态和周期运动以及相伴随的幅值、频率、相角等特性参数，而非线性动力学更关注不同运动的转换以及混沌运动。

微分方程、动力系统、分岔理论等相关数学理论都是非线性动力学不可或缺的基础。但非线性动力学不是单纯的数学理论研究。数学理论和方法的发展和应用只是非线性动力学的一个方面，非线性动力学还包括对实际系统的建模、数值仿真、实验验证等。建立系统数学模型时不可避免地忽略一些因素，而数学理论所要求的条件通常只能近似满足。因此，应用数学理论与实际问题所得到的结果，还需要进行适用性分析。

非线性物理与非线性动力学的关系类似于物理与力学的关系。非线性物理属于基础科学，聚焦于对混沌、分形、孤立子、斑图形成、复杂性等问题进行机理性探讨。它研究对象更为广泛，不局限于经典力学，还有量子混沌等。研究方法方面还包括统计物理学方法的应用。非线性动力学既是基础科学，也是工程科学，研究工程系统的稳定性、分岔和混沌等非线性物理通常不关注的问题。

自动控制理论中的非线性系统理论与非线性动力学的研究对象有一定重叠，研究方法也有类似之处，区别主要在于侧重点不同。非线性系统理论通常对系统复杂动态行为关注较少，更侧重系统尤其是控制器的设计。非线性系统理论中所处理的系统，往往需要考虑输入输出特性。

意义与展望   非线性动力学问题的研究具有深刻的理论意义。在混沌现象广为人知以前，人们将对自然界的描述分成随机性和确定性截然不同的两类，确定性系统具有决定论的性质。混沌研究的兴起促使人们重视有限性的问题，即随机检验只能在有限的时间和频率中进行，真实物理量的精度都是有限的。随着对确定性混沌的深入理解，机遇、因果、决定论等人类认识自然的基本概念和范畴需要重新认识。非线性动力学的研究导致了一种新的实验方式，即数值实验的产生和广泛应用。非线性动力学的研究也促进了数学、物理、力学中相关学科的发展。随着研究的深入，非线性动力学也日益在生物医学和社会科学中显示出广阔的应用前景。

非线性动力学在解决工程问题中正起着愈来愈重要的理论指导作用。非线性动力学表明简单的数学模型可能产生复杂的动力学行为，因而可应用于时间序列的非线性建模和预测以及控制。非线性动力学揭示了不规则的噪声信号可能产生于低阶的确定性非线性系统，从而为噪声的抑制提供了新的思路。非线性动力学对于系统全局和长期性态的分析结果，可用于数值仿真结果可靠性的研究。非线性动力学还为实验研究提供了新的概念和方法，在传统的频谱分析之外可以测量确定识别混沌运动的一些特征数值。

非线性动力学的未来将从研究问题的全面性和研究系统的复杂性两个维度发展。非线性动力学研究将不局限于问题的分析，而向建模、仿真、优化、控制等全部过程扩展。所研究的系统将含有高维、非光滑、有时间延迟、多时间尺度、不确定等复杂因素。

扩展阅读

J. 格莱克 (张淑誉译). 混沌：开创新科学. 上海：上海译文出版社, 1990

E.N. 洛伦兹 (刘式达, 刘式适, 严中伟译). 混沌的本质. 北京: 气象出版社, 1997

L. 埃克朗 (史树中, 白继祖译). 计算出人意料. 上海：上海教育出版社, 1999

《中国大百科全书(第3版网络版)》“非线性动力学”

力学百科条目：小引