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实数的函数称为实变函数,复数的函数称为复变函数。实变函数的很多概念可以应用到复变函数中。实变函数研究定义在一定区间中的函数,而复变函数研究的是定义在一定区域中的函数,因为复数对应的是复平面。区域是和区间对应的概念。
复平面内点的集合称为点集。如果能够以某点为圆心作一个圆,使得圆内所有的点都属于这个某个点集,则称这个点为这个点集的内点。内点是相对某个点集而言的,脱离点集没有意义。
复平面内的点集成为区域要满足两个条件,一是所有的点都是内点,二是具有连通性(任意两点可以用折线相连,且折线上的点都在点集内)。也就是说区域不包括边界。所以边界相交的图形不是区域。区域可以分为单连通区域和多联通区域。单连通区域内任意不自相交的闭合围道内的点都属于该区域。
区域的边界点是不属于该区域,但以该点为圆心作任意小半径的圆,圆内总含有区域内的点。全体边界点构成区域的边界。区域加上区域的边界构成闭区域。
对于区域G,如果∃M>0,使得对于∀z ∈G,都有|z|<M,则称区域G为有界区域。反之,区域G称为无界区域。
和复数类似,复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是两个二元实函数u(x,y)和v(x,y)的有序组合。
与实变函数不同,复变函数存在并且允许一对多的映射(实际处理需要规定辐角,或者黎曼面上的位置),这种函数称为多值函数。
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