近日冠冠忽访，因工作所需在教学区封控。来到羊城，机缘巧合地探索复杂系统和群体行为建模研究，力行愈久愈感基础数学理论之重要。廿年前，大四，幸得董GH老师指点，自学《高等代数》，这次逮暇对“群、环、域”以及诸多“空间”温故知新。

一、群环域

       遍尝诸子百家，有一文尤为叩己心弦，群（环、域） = 集合 + 结构，而结构又是对运算的某种性质（比如封闭性、可逆性、结合律、交换律、分配律等）。结构，是布尔巴基学派明确提出的概念，不止有代数结构，还有拓扑结构、序结构、复合结构（董GH老师批注）。

       据此，群、环、域是具有不同结构、不同元素的集合，也就没有什么玄妙了。诸多空间（线性空间、赋范空间、内积空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间、度量空间）则也是元素较为特别的一系列“群、环或域”。做了简单整理笔记，如下表1。

其中，运算符o1、o2可以取+、*、mod等，幺元、有逆、封闭性等术语的含义如下表2。

注：幺元，读作yao1 yuan2，是指唯一的单位元，英文idential element。

二、诸多“空间”

       空间=集合+结构。结构是指集合中的元素遵循的某种性质，比如加法封闭性、数乘封闭性、结合律、交换律、三角不等式、平行四边形法则、完备性（任意柯西序列收敛于集合内）等。结构，是布尔巴基学派明确提出的概念，不止有代数结构，还有拓扑结构、序结构、复合结构（董GH老师批注）。根据性质不同，也就是在集合上引入不同的结构，可分别定义线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间、巴拿赫Banach空间、希尔伯特Hilbert空间。整理成表4。

特别鸣谢：

[1]“天下无难课”的撰文，请见：怎样理解高等代数里的群环域、向量空间等抽象概念？

[2] 什么是数学中的各种空间：线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间、欧几里得空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间？

[3]拓扑学入门1——拓扑空间