爱因斯坦的相对论对于人们最大的冲击莫过于习以为常的时空绝对性居然是错的，从而引发了现代科学真正意义上的革命。然而量子力学再次颠覆了常识，对物质实在性和定域性提出了挑战。我一直难以接受量子力学哥本哈根学派的观点，一直试图为量子力学找到更为合理的解释而努力，以下是多年来的一些体会和思考。

1 量子力学的困境

量子力学是目前人类最精确的科学体系之一，这一点可以从精细结构常数的纯理论计算与实验结果对比得到验证。然而对量子力学的质疑从未间断，甚至从诞生一刻就开始了。作为量子力学的创始人，爱因斯坦、德布罗意和薛定谔等从一开始就质疑量子力学体系的完备性。另外一派，波尔、波恩和海森堡等为维护量子力学体系的完备性进行了卓有成效的维护，建立了为物理学界所熟知的量子波函数几率解释的哥本哈根学派。

对量子力学体系的质疑从测量中出现随机性开始，波函数非常精确地描述了这种随机性在时间空间上的分布，但是每个粒子运动的精确描述被排除在理论体系之外。这无疑是令所有从经典物理走来的物理学家们难以接受，其争论在1927-1933年的三届索尔维会议上都成为焦点，直到1935年达到顶峰。这一年爱因斯坦提出了EPR悖论，将争论从哲学化的思辨推进到可以实证的科学体系。

虽然波尔作为哥本哈根学派的领袖，他坚持认为量子力学是完备的，用并协性原理来诠释测量中的随机性和不确定性。一方面，他认为这种随机性来源于理论体系之外是自然界无法用理论进行完备描述的本质所决定；另一方面，他为了研究塌缩过程将随机相位引入到测量中，认为是某种无规不可控的随机相位导致了测量过程的塌缩，从而导致结果的随机性。

从经典角度来刻画量子行为的努力，从德布罗意、玻姆开始到一直延续下来的飞行波理论和玻姆力学，引入量子势后利用经典力学体系框架可以完全重构整个量子力学形式，但是量子势的非协变性和来源成为整个理论无法绕开的障碍，除此以外这种理论并未给出量子测量随机性的根源。

一方面是理论和实验吻合到全所未有的精度，另一方面从基本概念到理论体系一再受到质疑，可以肯定的是现在的量子力学并不是终点，量子力学的未来仍然是值得深究和探索的：量子力学的随机性本质是什么？能不能纳入到量子力学体系内形成更为完备的量子力学体系？这些是量子力学真正需要解决的困境。

2 实在性和非定域性

对量子的诠释从来就不是现在这样的单一和简单，曾经也论战不断、众说纷纭，就连创始者们至死也没有谁说服谁。最后的关键落实到两个基本概念：实在性和非定域性。

物理概念来源于现实世界真实的物理量，这是唯物主义和科学实证主义的基础。用量子力学概念来否定现实世界的客观性实在是无稽之谈，也是完全误入歧途的理论分支，完全不值一驳。多世界解释给出一些完全无法验证的结论和毫无价值的世界观，除了给好莱坞提供一些素材，没有任意科学上的意义。失去实在性，则意味着失去了科学概念的基础，陷入了不可知和虚无的误区。

非定域性也是物理学的基本限制，在相对论意义下任何物体运动、信息传输以及相互作用力的速度都不可能大于真空光速。任何非定域性意味着违反相对论的超距作用和超光速行为，意味着物理学基本限制的破坏，这也是爱因斯坦坚决反对量子几率性的根本原因。

最早的隐变量理论着重于引入一个可以解释微观粒子行为描述的物理量，例如德波罗意的“流管”假说到飞行波理论，再到后来的量子势。虽然，在形式上可以和量子力学一样给出所有的与实验相符的描述，但是两个本质问题没有得到解决：（1）隐变量的物理本质是什么？（2）随机性是否包含在隐变量体系内？

这两个关键问题不解决，任何的隐变量理论为了体系的自洽性必然陷入实在性和非定域性的困境中，这也就是可实证的Bell不等式所揭示的本质。

2.1 Bell的迷思

Bell的出发点非常好，希望将量子力学的争论由哲学思辨变成实验验证。他从EPR态出发，以实在性和非定域性两个基础概念为基础，揭示出空间上分离的两个量子投影相关测量只能表示为两个独立测量结果的乘积形式，而量子力学的相关测量则是两个测量结果不可分离的，如下图所示。

图1、EPR态的相关测量

进一步，将测量结果引入到Bell不等式（CHSH）中，自然产生不一致的结果：定域实在论的结果不会大于2，而量子力学的结果最大可以达到。虽然存在一些漏洞，但实验结果基本上支持了量子力学。表面上看量子力学大获全胜，从科学实证层面确立了量子力学体系的正确性。但这些研究并没有封闭量子力学完备性的质疑，仍然没有解答随机性的来源和非定域性的困难。

2.2 谁更本质

量子力学的基本原理中，波动性和粒子性之间的矛盾最为深刻和不可调和。这些矛盾集中体现在双缝干涉的实验中，一直以来双缝干涉从现象到本质的探讨从未停止过。实验中，单次试验的结果是粒子性的和随机的，而无数次重复后呈现的反而是有规律的、波的干涉图像。留下的疑问是，粒子和波哪个才是微观现象的本质？有两种截然不同的观点，（1）更本质的是波，在没有到达屏幕之前微观状态是不确定的，以波的形式存在，只有在测量瞬间状态按照波幅大小以随机的方式塌缩为点状粒子；（2）更本质的是粒子，在没有到达屏幕前粒子的轨迹虽然是随机的，但是被某种神秘的量子势或者导航波所决定，因此随机的单次粒子行为累积之后呈现出量子势或者导航波所确定的集体行为。

两种观点都存在这不可避免的困难，波动观点虽然给出了波粒二象性相互兼容的图像，但是不得不虚构出“塌缩”这一无法进行物理描述的过程，特别是量子纠缠中关联塌缩的物理解释；粒子观点面临的问题似乎更多，不管是量子势还是导航波，同样面临物理解释和非定域性的困境。

不论哪种观点，似乎都忽略了一种重要问题：量子测量中随机性到底来源于什么机制。这是因为量子测量过程本身极易受到外界因素的干扰，因此理所应当地认为测量结果的随机性，自然来源于测量过程的随机性。不管什么样的理论，几乎很少讨论量子测量中随机性的来源是不是有其他可能性。

2.3 随机性的来源

量子过程的随机性一般从两个角度来看，海森堡给出的测不准关系显示出一对正则共轭力学量间存在着相互制约的测量精度限制，另一角度是单个量子行为无法用经典轨迹给出精确的描述。一般认为这是同一个问题的两个角度，解决了一个另外一个自然也不存在了，但也许不是这样的。

很少有人注意到，海森堡测不准关系其实来源于数学上的限制，任何以三角函数作为正交基的数学体系中，一对互为傅氏变换的变量之间都存在这种所谓变换精度的制约关系。让人感兴趣的是，这种数学上的限制为什么能成为现实世界中在物理体系的基本原理？而且成为了波尔互补性原理的理论基础。从这个意义上讲，目前量子力学的困境决不仅仅因为实验方法和手段的有限，更有可能源于以波动方程为基础构建的量子力学描述体系。

为了解决量子测量中的薛定谔猫佯谬，一些广义量子测量理论体系将量子过程测量过程进行泛化和抽象化，将观测人也纳入测量体系中，这些理论否认了测量的客观性，必然陷入不可知论和唯心论之中，完全不值一驳。

单个量子行为的随机性是不是有更深刻的来源是值得研究的问题，这种随机性是测不准关系的原因而不是结果。现在的量子力学没有将这个问题阐述清楚，而是简单地将其掩盖在互补性原理之下。从这个意义上讲，量子力学体系是不完备的。

如果量子测量随机性只是来源于测量过程，非定域性的困境就不可避免，不管是量子力学的哪种诠释。处于EPR状态的两个粒子，无论空间上分离多远，如果测量结果完全由那一瞬间所决定，不管是量子塌缩还是量子势，如何将这两个类空间隔的信息在瞬时进行传递，无论如何都无法给出与定域性相融洽的解释。但是，如果EPR状态的两个粒子在分开的瞬间就已经处于确定的随机状态（非相干叠加态），也不符合Bell测量中投影测量所要求的相干性。显然，这种随机性一方面能够“记忆”EPR状态，即使两个粒子已经处于空间上分隔很远距离的状态，另一方面又不能破坏量子叠加态的相干性。由此，我们将进一步探讨量子随机性的真正根源。

3 量子随机性的几何解释

从量子退相干机制到量子测量，相位的随机性都起着非常重要的作用。波尔认为在测量后的量子态会引入任意相位，这种任意相位是无规的、不可控的，干涉项的贡献相互抵消，导致了相干叠加向非相干叠加过渡，从而塌缩到相应的本征态。我们同样认为这种机制是合理的、可以描述的，不同的是我们认为这种任意相位的来源不是由测量引入的，而是有着更加复杂的来源。这个就是我们这一章希望阐述的问题。

3.1更高维度和超弦理论

更高维度的理论，如卡鲁扎-克莱因理论，最早是为了解决电磁场和引力场大统一而建立的理论框架。而后，超弦理论出现后，其理论自洽性的要求必须用更大维度的空间来容纳更多自由度（所有基本粒子和引力子），最终9+1维是奥卡姆剃刀原则下的最低要求。虽然，这些理论还没有任何实验证据，但是高维空间似乎是合理和必然的选择，否则现实中的3+1维时空就显得太过于独特和不合逻辑。任何高维空间理论必须解决一个难题，其他维度去哪了？维度紧致化是一种自然的解释，例如：一个二维平面被卷成一根管子，当管子卷曲到足够小时，就可以当成一维的线。

超弦作为大统一理论的候选者近年来的发展时冷时热几起几落，优美、完备且自洽的理论体系让人难以割舍，但是缺乏实验验证犹如建设在沙滩上的高楼随时有可能垮塌。在超弦体系中，粒子不在是质点而是振动的弦，粒子所有属性被弦的张力和波节所定义。

粒子的运动可以看成是弦在维度紧致后卷曲的管壁上运动，下图所示为粒子弦在卷曲后的二维空间中的运动。

图2、粒子弦在紧致后的二维空间上运动

超弦理论描述真实的世界更为复杂，需要紧致化六个维度并且保持超对称性不变，理论上已经证明卡拉比·丘流形能满足。虽然紧致化维度在空间尺度上与普朗克尺度相当，是不是仍然有一些效应会残留下来影响现实的实验结果呢？这对于超弦理论的验证具有重要的意义和价值。

图3、卡拉比·丘流形的形象化

我们首先考虑的是空间拓扑性质，因为这些性质和尺度无关。粒子弦在如此复杂的流形上运动，将会有哪些性质与流形的拓扑有关？并且会产生什么样的效应呢？

3.2 几何相因子

在量子力学中，几何相因子长期被忽视，直到Berry研究了量子态在绝热条件循环演化时除了动力学相因子还会产生一个与路径有关的不可积相因子，被命名为Berry相因子。这种Berry相是纯几何性的，所谓几何性是指它依赖系统环境的参数空间的路径，而不依赖环境参数随时间的变化速率和系统的动力学参数，这种相位在量子力学和经典力学层次（Hanna角）都存在。随后的推广发现，系统在任意演化中，除了动力学相之外，都会产生几何相，可以泛化为量子态矢在参数空间纤维丛上的anholonomy。

有趣的是，这种相因子与鼎鼎有名的Aharonov-Bohm效应有关。1959年，阿Aharonov与Bohm二人合作在《Physical Review》中发表了一篇文章。文中，他们提出了一个关于电子在磁场中运动的干涉假想实验（如下图4所示）：一束电子从A点出发，分裂为两束分别经过B，C再同时到达F点合束，并且在ABFC中间放置一个螺线管，他们从理论上发现电子经两条路径到达F点时会差一个固定相位，这个相位差只依赖于螺线管里的磁通，不依赖于电子是否受到电磁场的直接作用。AB效应深层次揭示了量子力学的非定域性与空间拓扑性质的关系：当螺线管里的磁通存在时，电子围绕这一复连通空间转一圈，就会多一个几何相因子。

图4、AB效应和空间拓扑的关系

基于这一图像，我们做出一个大胆的猜测：粒子弦在紧致化高维空间形成的管壁上缠绕（如图2所示），类似于电子环绕复连通空间的运动，每转一圈会产生一个几何相因子。考虑更复杂的高维情形，粒子弦的缠绕可以分解为多个环绕复连通空间的运动，则粒子获得的几何相为若干个几何相因子相加。

几何相因子与围绕复连通空间的圈数成正比，自然是一个周期函数。我们要考虑多个几何相因子相加之后粒子产生的相位特性，必须研究数学上的概周期函数。数学上对周期函数进行推广，就是概周期函数，可以表达为若干个周期函数相加。周期函数一定是概周期函数，但是概周期函数不一定是周期函数。例如两个周期不等且不可约化（即两个周期之比是无理数）的周期函数相加就只能是概周期函数。多个这种周期函数相加形成的概周期函数则更为复杂，概周期函数进行离散化后成为概周期序列，这种序列通常呈现出随机性。

我们认为粒子弦缠绕在紧致化高维空间上运动的结果将导致粒子波函数产生一种具有概周期特性的随机几何相位。进一步，我们可以设想这种Berry联络和量子势之间的存在着某种关系。

3.3 理论预言与实验验证

基于上面的分析，我们可以得出以下理论预言：

（1）任何非绝对静止的粒子都存在随机变化的整体相位；

（2）这种相位来源于粒子弦缠绕在紧致化高维空间上运动产生的几何相因子；

（3）这种相位由多个周期函数叠加形成，周期函数的个数不大于紧致化高维空间亏格的两倍；

（4）这种相位具有概周期随机性。

如何在实验上验证这些预言是一个非常重要的事情，考虑到这种随机相位序列似乎是每个粒子的独特个性。当粒子温度足够低发生波色爱因斯坦凝聚（BEC）时，单个粒子行为转化为多粒子整体行为，由单个粒子的随机相位序列变成凝聚体波函数的随机相位序列，BEC凝聚过程应该是观测理论预言的实验效应最好方式之一。同样，我们推测BEC凝聚体干涉中出现的崩溃和恢复现象，是由于这种几何相位的概周期随机性质决定的。

进一步，我们将量子力学的随机性与这种相位的随机性联系起来。波尔认为，在测量后的量子态将引入任意随机相位和，即当测量仪器作用于量子系统时，总的量子态进行修正：

测量到粒子的几率：

随机相位和，将导致干涉项总贡献消失。借用波尔的观点，但是我们认为这种随机相位不是测量引入的，而是粒子弦缠绕在紧致化高维空间上运动时产生的随机几何相。

下面讨论一下量子纠缠的情形，考虑两个完全独立的粒子，其波函数分别表示为，其中和表示两个粒子由于粒子弦在紧致化高维空间缠绕模式不同而导致的两个随时间随机变化的几何相位。我们猜想：粒子通过相互作用产生量子纠缠的过程中，两个粒子交换了在紧致化高维空间的缠绕模式，因此将两个粒子的随机相位也发生了交换：

两个粒子分别处于的叠加态上，其中。这样即使两个粒子分开之后，只要没有受到外界作用的干扰，这种由几何相因子导致的量子随机性会一直跟随粒子演化。考虑Bell测量的情况，对空间分隔的两个粒子进行投影测量的结果为分别。显然，两个测量结果随机性是相关的，相关函数和量子力学的结果完全一样，因此也破坏Bell不等式。这种解释完全能够避免非定域性的困难。

在这里，我们没有能给出详细和严密的数学推演，大多是猜想和推测。我们相信这种猜测是有用和有趣的，为解决量子力学的一些根本问题提供了新的思路。

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