随机游走（Random Walk）是《随机过程》教科书中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程，许多重要的随机过程都可由它派生出来，其理论不仅在随机过程中占有相当重要的地位，而且也是自然科学、工程技术和社会科学研究动态随机现象的重要数学工具。

一、随机游走定义

若质点在水平直线上每隔时间∆t随机地向左或向右移动单位距离ΔX（图1），则称质点运动为简单对称随机游走。

《随机过程》教科书通常用连续抛硬币过程来模拟随机游走。设ΔX_i 为第i次抛硬币结果，若第i次抛硬币结果为正面向上，ΔX_i =1，质点向右移动一步；若第i次抛硬币结果为反面向上，ΔX_i =-1，质点向左移动一步。

图1 随机游走示意图

  定义：设ΔX₁，ΔX₂，……，ΔX_n独立同分布（i.i.d.），P（ΔX_i =1）= P（ΔX_i =-1）=1/2，X₀=0，定义

X_n=ΔX₁+ΔX₂+……+ΔX_n   

为从原点出发的简单对称随机游走。

X_n的物理意义为质点移动n步后距原点的距离，图2（a）为抛硬币记录结果或位移增量ΔX_i的函数图像，图2（b）为相应的X_n位移曲线。

图2 随机游走位移增量及位移曲线

二、随机游走定义中的逻辑悖论

“悖论”是指自相矛盾的命题，或荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

随机游走定义假设位移增量ΔX₁，ΔX₂，……，ΔX_n独立同分布（i.i.d.），P（ΔX_i =1）= P（ΔX_i =-1）=1/2，可直接得出ΔX_i的数学期望和方差

E(ΔX_i )=0    

D(ΔX_i)=1    

但是质点每次移动时，只能是向右移动一步（ΔX_i =1），或是向左移动一步（ΔX_i =-1）。

当质点向右移动一步时，ΔX_i =1，其数学期望和方差为

E(ΔX_i )= E(1)=1

D(ΔX_i)= D(1)=0

当质点向左移动一步时，ΔX_i =-1，其数学期望和方差为

E(ΔX_i )=E(-1)=-1

D(ΔX_i) = D(-1)=0 

因此，无论随机游走的质点如何移动，其位移增量ΔX_i的E(ΔX_i ) ≠0，D(ΔX_i)=0，与随机游走定义P（ΔX_i =1）= P（ΔX_i =-1）=1/2假设得出的E(ΔX_i )=0和D(ΔX_i)=1矛盾。

事实上，随机游走定义假设P（ΔX_i =1）= P（ΔX_i =-1）=1/2，表示质点向右移动的可能性与向左移动的可能性完全相同，因此质点每次移动时都会一分为二，其中的一个质点向右移动一步，而另一个质点则向左移动一步，这时位移增量ΔX_i的数学期望E(ΔX_i )=0。

三、结论

随机游走定义是《随机过程》教科书中随机游走理论的逻辑基础，随机游走定义中出现逻辑悖论，表明《随机过程》随机游走理论的逻辑完备性遭到彻底破坏，随机游走定义中必然隐藏着重大科学问题（概念错误或逻辑错误）。关于如何消除科学理论中的逻辑悖论，爱因斯坦曾经说过：“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。”

参考：

发现《随机过程》教科书逻辑悖论的原理及方法