一、随机游走正态分布性质

《随机过程》教科书将质点随机游走位移X_n（时间函数）假设为随机变量，并定义X_n为独立同分布随机变量之和，因此根据中心极限定理，X_n服从均值为零和方差为n的正态分布，即X_n～N(0，n)。

二、正态分布性质

自从1809年德国数学家高斯（Gauss）发现测量误差服从正态分布（图1）后，人们发现正态分布在自然界和人类社会实践活动中极为常见。

图1 正态分布

从正态分布曲线可以看出，正态分布具有如下两个重要的特征：

（1）对称性。绝对值相等的正、负样本数据出现的次数大致相等。

（2）集中性。绝对值小的样本数据比绝对值大的样本数据出现的次数多。

 图2为一条质点随机游走位移曲线，显然具有明显的线性趋势（均值与时间成正比），根本不具有正态分布的对称性和集中性。

图2 随机游走位移曲线

三、均值和方差的物理意义

从信号分析的角度看，均值表示信号中直流分量的大小，方差表示信号中交流分量的平均功率或波动范围。

如果X_n～N(0，n)，则随机游走位移曲线应该是一条直流分量为零、交流分量平均功率与时间成正比的信号波形（图3）。

但是，图2所示的随机游走位移曲线是一条直流分量与时间成正比、交流分量平均功率平稳的信号波形，因此，《随机过程》教科书随机游走理论与事实完全不符。

四、随机游走位移仿真曲线

假设随机游走位移X_n服从正态分布，则X_n位移曲线具有正态分布的对称性和集中性：

（1）对称性。绝对值相等的正、负位移出现的次数大致相等。

（2）集中性。在0点附近出现的位移比绝对值大的位移出现的次数多。

根据X_n～N(0，n)的性质，可仿真出图3所示的随机游走位移X_n曲线，显然，这是一个直流分量为零、交流分量平均功率与时间成正比的高斯噪声波形，虽然满足正态分布的对称性和集中性，但是与图2所示的实际随机游走位移曲线有着天壤之别，因此，随机游走正态分布性质与客观事实完全不符。

图3 随机游走位移仿真曲线

四、原因分析

随机游走在第n步时的位移X_n是时间t=n∆t的函数，《随机过程》教科书用随机变量的性质来定义时间函数的性质，违反了逻辑思维的同一律和矛盾律，从而出现了理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽（逻辑悖论）等反常问题，见：随机游走定义中的逻辑错误。