1.       茹科夫斯基凳

茹科夫斯基凳是理论力学课程的一种实验装置，其名称来源于原苏联理论力学教材^[1]。茹科夫斯基凳是一种可绕垂直轴自由旋转的转台。站立在转台上的人改变手握哑铃的双臂位置，使转台和人所组成系统的惯性矩发生变化（图 1）。沿垂直轴的重力不构成绕转轴的力矩。如阻尼力矩也忽略不计，则绕转轴的外力矩为零，系统的动量矩守恒。演示过程中利用双臂的不同位置以改变惯性矩 J 。动量矩 L 为常值时，角速度 ω 与惯性矩 J 成反比：

                                                                                                                                              (1)

图 1 表示握哑铃人的 3 种姿势: (a) 双臂平举，(b) 双臂收缩至胸前，(c) 双臂下垂。当状态 (a) 转变为状态 (b) 或 (c)，即双臂平举变为双臂收缩或下垂时，惯性矩 J 减小，转速 ω 升高。反之，如状态 (b) 或 (c) 转变为状态 (a)，即双臂收缩或下垂变为双臂平举时，惯性矩增大，转速降低。类似现象已成为芭蕾舞或冰上舞台上常见的经典舞蹈动作。

             (a)                                          (b)                                     (c)

        图1   茹科夫斯基凳 (文献 [1] 的插图)

茹科夫斯基凳在改变转速过程中其能量也在发生变化。利用刚体的动能公式 T = Jω²/2，将式(1)中的角速度 ω 代入，化作

                                                                                                                                                  (2)

因此在动量矩 L 守恒条件下，当惯性矩 J 减小使角速度增大时，动能也随之增大。或与此相反。根据动能定理，质点系动能的变化是外力和内力做功的共同结果。握哑铃人在改变姿态时，外力来自哑铃的重力，内力来自双手对哑铃的握力。其中重力功 W_g 的正负号很容易确定，哑铃向下运动时作正功，向上运动时作负功。内力功 W_i 则必须根据握力和运动方向是一致还是相反来作出判断。外力和内力的总功为二者之和，W= W_g+W_i。其正负号决定了能量是增大还是减小。具体分析以下两种情况：

情况一：惯性矩减小，输入功为正值，角速度和动能均增大。

状态 (a) 转变为状态 (b)，即双臂平举变为双臂收缩，重力功 W_g = 0。为克服离心力使哑铃产生向内运动的加速度，握力与运动的方向一致，内力功 W_i > 0。总功 W > 0。

状态 (a) 转变为状态 (c)，即双臂平举变为双臂下垂，重力功 W_g > 0，为使双臂产生下垂的加速度，握力必小于重力，所作的负功小于重力的正功。双臂为克服离心力向内收缩所作的功为正功。仍满足总功 W > 0。

情况二：惯性矩增大，输入功为负值，角速度和动能均减小。

状态 (b) 转变为状态 (a)，即双臂收缩变为双臂平举，重力功 W_g = 0，克服离心力的握力和运动方向相反，但产生向外运动加速度的握力和运动方向一致。若后者小于前者，则总功 W < 0。

状态 (c) 转变为状态 (a)，即双臂下垂转变为双臂平举，重力功 W_g < 0，向上提升的握力必须超过重力，才能产生向上的加速度，其正功必大于重力的负功。但为克服离心力向外运动的握力作负功，仍能满足总功 W < 0。

上述茹科夫斯基凳实验表明，质点系的动量与动能是两个不同的概念。动量或动量矩守恒，动能很可能不守恒。动量的变化只能由外力或外力矩引起，内力不能改变动量或动量矩。动能的变化来自外力或内力所做的功。就改变系统动能的效果而言，外力与内力并无区别。

2．美国首个卫星倾覆事故

1958 年，美国首个卫星探险者一号（ Explorer-1 ）的倾覆事件是动量矩守恒，内力导致动能不守恒的又一例子。探险者一号是一个带有 4 根挠性天线绕极轴自旋的细长轴对称体（图 2）。按照经典刚体动力学的分析结论，不计太空中极其微弱的干扰力矩，刚体绕质心的动量矩和动能均守恒。其绕最小或最大惯性矩主轴的转动都应稳定。但探险者一号升空后，旋转轴逐渐翻转 90⁰，最终转变为绕赤道轴旋转而失效。如何解释这一违背经典力学结论的现象，成为当时力学界的热门话题。最后讨论清楚，虽然不存在外力功，但 4 根挠性天线变形产生的内阻尼所做的内力功使动能趋于减小，乃是倾覆事故的根本原因。

图2  探险者一号卫星

无力矩作用的刚体定点运动在经典力学中称为欧拉情形刚体定点运动。刚体绕过定点的任一惯性主轴均可做持续的匀速转动，称为永久转动。以定点 O 为原点，建立惯性坐标系 (O-XYZ)，将守恒的动量矩矢量 L 作为 Z 轴。设刚体为轴对称体，以 z 轴为极轴，赤道平面与 (X, Y) 平面的交线为 x 轴，组成主轴坐标系 (O-xyz)  (图 3)。

                图3   参考坐标系

以欧拉角 ψ, θ, φ 表示刚体相对 (O-XYZ) 的姿态，刚体的角速度 ω 对 (O-xyz) 各轴的投影为

                                                                                          (3)

设刚体相对赤道轴和极轴的惯性矩为 A 和 C，列写动量矩 L 在 (O-xyz) 各轴的分量：

                                                                 (4)

也可将沿 Z 轴的矢量 L 直接向 (O-xyz) 各轴投影，得到

                                                                                       (5)

令式 (4) 与式 (5) 各项互等，导出章动角 θ、进动角速度和自旋角速度均为常值。所对应的角速度投影为

                                                                          (6)

其中 ω₀ = L/C,  λ = C/A。将上式代入刚体的动能公式 T  = (1/2)(Aω_x² + Aω_y² + Cω_z²)，得到

                                                                                                                 (7)

将式 (7) 对时间 t 求导，得到

                                                                                                                    (8)

若卫星不存在外力功，但内部有微小变形或质量移动产生的内力功，则动能 T 趋于减小。令上式中 。得到不等式:

                                                                                                                                                 (9)

可用于判断章动角 θ 的变化趋势：

                                                                  (10)

当刚体的极轴 z 为最大惯性矩主轴时 (λ > 1)，趋向于与 Z  轴共线，转变为绕极轴的永久转动。如极轴为最小惯性矩主轴 (λ < 1)，则趋向于与 Z 轴垂直，转变为绕赤道轴的永久转动 (图 4)。两种情况的最终阻尼结果都是使卫星自动选择最大惯性矩主轴作为永久转动轴。此结论在航天实践中称为最大轴原则。Explorer-1 卫星的倾覆事故从而得到理论解释。

        图4   刚体的转动趋势

3． 动量与动能：度量运动状态的两种指标

     关于动量和动能两种概念，哪个概念能作为运动状态合理的度量，在力学史中曾有过激烈争论^[2]。法国数学家笛卡尔 (Descartes,R.) 于 1644 年最早引进动量概念（图 5）。他受物体弹性碰撞实验的启发，认为物体运动状态的强弱取决于质量 m 与速度 v 两个因素，应将二者的乘积 mv 作为运动状态的度量。

图5  笛卡尔(Descartes,R.,1596-1650)

1686 年德国数学家莱布尼茨 (Leibniz,g.W.) 对此提出反对（图 6）。他将物体的质量 m  与速度平方 v² 的乘积 mv² 称为物体运动的 “活力” (拉丁文 vis viva)，认为度量运动状态的不是动量 mv，而是活力 mv²。于是开启了笛卡尔派与莱布尼茨派之间延续数十年的争论。

图6   莱布尼茨 (Leibniz,g.W.,1646-1716)

直到 1743 年，法国学者达朗贝尔 (d’Alembert,J.R.) 在他的著作《Traité de dynamique》里对这场争论做了确切的总结（图 7）：

“ 对于量度一个力来说，用它给予一个受它作用而通过一定距离的物体的活力，或者用它作用一定时间的物体的动量同样都是合理的。”

图7  达朗贝尔(d’Alembert,J.R., 1717-1783)

 因此这场争论只是对不同力学概念的一场无谓的争论。就物体运动状态的量度而言，笛卡尔的动量是按力作用时间的量度，莱布尼茨的活力是按力作用距离的量度。二者并无冲突。

   动能的定义最终于 19 世纪 20 年代完成。法国学者科里奥利 (Coriolis,G.G.) 引进了功的概念，建立了动能定理：力对物体做的功等于动能的增量。因此活力 mv² 前面必须增加 1/2，作为动能的确切定义 T = mv²/2，方能使动能定理得到满足：

                                                                                                                           (11)

参考文献：

[1]  Бутенин,НВ, Лунц,ЯЛ, МеркинДР. Курс теоретической механики. Москва. Наука, 1985

[2]  武际可. 力学史. 上海：上海辞书出版社，2010

      （改写自：刘延柱. 关于茹科夫斯基凳. 力学与实践，2012，34(3): 63-64）