1.       充液系统的动力学方程：

前篇博文讨论了欧拉情形的充液刚体定点运动。本文讨论相关的另一个问题，即拉格朗日情形的充液刚体定点运动。所谓拉格朗日情形是指刚体为轴对称，且质心和定点均在对称轴上的情形。单轮空竹、地旋陀螺和旋转弹丸就是生活中最常见的例子，在 “抖空竹与欧拉方程”和“抽陀螺与刚体的规则进动”两篇博文里曾有过具体的描述。依据文中的说明，拉格朗日情形的刚体也能作永久转动，但转动轴只能是垂直轴，以避免重力矩的影响。永久转动的稳定性根据稳定性理论导出的稳定性判断，取决于刚体的质量几何和旋转角速度。

若刚体带有对称椭球形空腔，腔内充满理想流体，其总质心也在对称轴上，仍满足拉格朗日情形的条件。则充液刚体绕垂直轴作永久转动，其稳定性条件必受到腔内流体的影响。利用前篇博文导出的充液刚体对定点 O 的动量矩公式：

                                                                                                                       (1)

其中 ω 和  Ω′ = Ω - ω 分别为刚体的角速度和腔内流体的相对涡量。轴对称的椭球形腔中的涡量 Ω 是与流场位置无关的离散化变量。对于非椭球形腔的更一般情形，涡量 Ω 可用腔内的平均涡量 Ω_a 代替。J = J⁽¹⁾ + J⁽²⁾为充液系统对 O 点的总惯性张量，J′ =  J⁽²⁾ - J*为充液腔内凝固液体与等效刚体的惯性张量之差。设系统的总质量为 m，质心 O_c 相对固定点 O 的矢径为 l = OO_c，带充液腔的拉格朗日刚体如图 1 所示。

  图1  带充液腔的拉格朗日刚体

沿用前篇博文建立的参考坐标系，即惯性坐标系 (O-X₁X₂X₃) 和充液刚体的主轴坐标系 (O-x₁x₂x₃)，以卡尔丹角 α, β, φ 表示刚体相对惯性坐标系的姿态。因有重力矩存在，与欧拉情形不同，动量矩 L 不守恒（图 2）。

图2 参考坐标系

将式 (1) 和重力对 O 点的矩 M = l × mg 代入动量矩定理，设 ω_⁕ 为 (O-x₁x₂x₃) 角速度，得到

                                                                                              (2)

其中波浪号表示对  (O-x₁x₂x₃) 坐标系的局部导数。设惯性张量 J 和 J′ 在  (O-x₁x₂x₃) 中的投影矩阵分别为

                                                                                                                   (3)

则方程 (2) 中各矢量对  (O-x₁x₂x₃) 的投影分别为

                                   (4)

方程 (2) 沿 x₃ 轴的投影式存在初积分：

                                                                                                                               (5)

其中 ω₀ 为系统的稳态运动，即刚体连同腔内液体绕 X₃ 轴做永久转动时的角速度。

2.       永久转动的稳定性条件：

仅保留扰动量 , ω₃ - ω₀, Ω′₁, Ω′₂的一次项，从方程 (2) 导出受扰运动方程沿 x₁ 和 x₂ 轴的投影式：                                                                                         (6a)

                                                                                        (6b)

其中 Λ = C/A, γ = A′/A。若椭球腔的赤道轴半径和极轴半径分别为 a₁ 和 a₃ ，λ = a₃/a₁为椭球的半轴比。则有

                                                                                        (7)

        以无量纲时间 τ = ω₀t 为自变量，且定义以下复变量和摆性系数 μ：

                                                                              (8)

可将方程组 (6) 合并为复数形式：

                                                                                                                 (9)

前文 “充液系统动力学(六)” 中曾导出复数形式的亥姆霍兹方程：    

                                                                                                                  (10)

与椭球腔对应的参数 Γ  定义为

                                                                                                                                           (11)

式 (9) 和 (10) 组成封闭的复数形式动力学方程组。

   将指数形式特解 z = Ze^isτ , w = We^isτ 代入方程组 (9) 和 (10)，导出频率方程：

                                                                                                                (12)

系数 a, b, c 定义为

                                                        (13)

根据三次代数方程 (12) 的 3 个根均为实根的充要条件，导出一次近似稳定性条件：

                                                                            (14)

此即拉格朗日情形充液刚体绕垂直轴永久转动的一次近似稳定性条件。根据此条件在 (Λ, μ) 参数平面上划分的与不同 γ 对应的稳定域边界曲线族如图 3 所示。

图3  拉格朗日情形充液刚体永久转动的稳定域

图 3 中 γ = 0 情形为稳定域的上界，对应于无充液腔的拉格朗日刚体。令方程 (9) 中 γ = 0，单独列出其特征方程，得到

                                                                                                                         (15)

上式中 s 的实根条件为

                                                                                                  (16)

即转化为拉格朗日重刚体的稳定性条件。图 3 的稳定域下界为直线，即鲁缅采夫导出的稳定性充分条件^[1]：

                                                                                 (17)

稳定域随系统内液体成分的增加而明显缩小。对于 μ > 0,  Λ < 1的细长形弹丸，虽然鲁缅采夫稳定性充分条件(17) 不能满足，仍有可能满足稳定性必要条件 (16)。

无重力矩的 μ = 0 情形为另一特例，令条件 (14) 中 c = 0，即转化为前篇博文导出的欧拉情形充液刚体的自旋稳定性条件:

                                                                  (18)

3.       充液弹丸的稳定性：

带充液腔的拉格朗日刚体的实际应用背景为充液的旋转弹丸，如燃烧弹。设刚体和充液腔均相对 x₃ 轴对称，腔内全充有旋理想液体。将 (O-X₁X₂X₃) 的 X₃ 轴改定义为沿弹丸轨道的切线方向，将弹丸的质心 O_c 改为固定点，原定义的重力 mg 改为空气动力的合力 F，以 O 点为空气动力的作用点，矢径 l = O_cO 相应地改为从 O_c 引至 O 点 (图 4)。利用以上导出的稳定性判据，可定性判断弹丸的自旋稳定性。因弹丸的腔体多为圆柱形，腔内流体的涡量 Ω 应用平均涡量 Ω_a 代替。对于半径为 a，半高为 h 的圆柱腔，参数 Γ 应改为

                                                                                                        (19)

其中 ζ_j  (j = 1,2,3) 为一阶贝塞尔函数 J₁(x) 的导数零点。

图4   带充液腔的旋转弹丸

计算表明，腔体外形趋向短粗，则参数Γ减小而稳定性增强。细长形腔体对稳定性不利。若将单个圆柱腔用横隔板等分为2个或4个腔，对各种情况的稳定域边界进行比较，二分隔腔体的稳定域明显扩大，而四分隔与二分隔腔体比较，稳定性域的变化不够明显（图 5）。

图5   带隔板圆柱形腔的稳定域比较

参考文献

[1] Румянцев,В,В. Устойчивость вращения твёрдого тела с элдипсоидальной наполненной жидкостью. ПММ, 1957, 21(6)

 （改写自：王照林，刘延柱. 充液系统动力学. 第3章. 北京：科学出版社，2002

            刘延柱. 陀螺力学(第二版)，第10章. 北京：科学出版社，2009

    刘延柱. 带充液腔重刚体的自旋稳定性. 力学学报，1992, 24 (3) : 368-371）