维纳过程（Wiener process）是一种连续时间随机过程，其理论在随机过程学科中不仅处于中心地位，而且也是随机过程和随机分析理论的生长点。维纳过程在自然科学、工程技术和社会科学领域有着广泛应用，是刻画布朗粒子无规则运动、陀螺随机游走误差和股票价格随机波动等动态随机现象的基本数学工具。

一、逻辑思维基本规律

逻辑思维就是运用概念、做出判断、进行推理的过程。逻辑思维活动和一切事物一样，是有规律的，逻辑思维基本规律决定了正确思维所必须具有的确定性、无矛盾性和明确性等特征。

1、同一律

同一律的内容是：在同一推导、演算和分析过程中，所使用的概念必须要与其自身始终保持同一。同一律要求逻辑推理过程必须具有确定性，也就是说，无论一个概念被使用或重复多少次，这个概念的内涵和外延必须是确定的。

如果在同一定义、推理或证明过程中，把两个内涵与外延完全不同的概念混为一个概念，不能保持概念内涵和外延的确定和同一，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，导致推导出的结论自相矛盾，逻辑上不能自洽。

2、矛盾律

  矛盾律的基本内容是：在同一思维过程中，两个不同的数学概念不能反映同一对象。如果用两个不同的数学概念描述同一对象，就会出现违反矛盾律的逻辑错误，必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生。

二、布朗粒子位移与时间之间的数量关系

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移（图1），则x(t)无疑是时间t的函数。

图1 布朗粒子位移曲线

《随机过程》教科书在讨论布朗运动的首中时T_a时，认为x(T_a)=a，a为常数。对于给定区间上的每一个t=T_a值，都有唯一确定的x(T_a)=a值与其对应，显然，布朗粒子位移与时间之间的数量关系在这里被抽象为时间函数。

三、时间函数和随机变量的联系与区别

随机过程X(ω,t)是定义在Ω×T上的二元函数（图2）。对于固定的样本点ω，X(ω,t)是时间t的函数，通常称为样本函数或样本轨道，简记为小写的x(t)；对于固定的时间t，X(ω,t)是样本点ω的函数，通常称为随机变量，简记为大写的X(t)。

图2 随机过程定义示意图

样本函数x(t)也被称为随机过程X(ω,t)的物理实现，它是一次随机过程试验（在T上进行一次全程观测）所得到的一条记录曲线或一个时间函数。一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)，就是随机过程X(ω,t)固定ω时的一个样本函数或一条样本轨道。

在工程技术领域，对随机过程的定义如下：

定义1：随机过程是一族依赖于样本空间的时间函数集合。

在学术研究领域，对随机过程的定义如下：

定义2：随机过程是一族依赖于时间的随机变量集合。

以上两种定义本质上是等价的。

在工程技术领域，对实际随机现象的观测结果就是一族时间函数，随着观测次数的增加，所得样本函数数量也越多，则越能掌握随机过程的统计规律，因此使用定义1非常直观方便。

定义2把随机过程看成是概率论中多维随机变量的推广，因此在数学研究领域通常使用定义2，可以直接把概率论中的多维随机变量理论做为随机过程理论的基础。

随机变量X(t)和样本函数x(t)描述的是完全不同的随机现象。样本函数x(t)用来描述随机现象的个体行为，例如一个布朗粒子的位移随时间变化过程；而随机变量X(t)则用来描述随机现象的集体行为，例如大量布朗粒子在某一时刻的空间位置分布。因此，样本函数x(t)和随机变量X(t)是两个具有完全不同定义域和值域的函数。

随机变量X(t)虽然使用了时间函数的数学符号，但X(t)并不是时间t的单值函数，X(t)是定义在样本空间Ω上的单值函数，其自变量为ω。随机变量X(t)符号中的t仅仅是随机变量的时间标记而已。

三、维纳过程定义中的逻辑错误

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，定义

（1）x(t)为平稳独立增量过程；

（2）对于任意的t>s≥0，x(t)- x(s)～N(0，σ² (t-s))，其中σ>0为常数；

（3）x(t)是t的连续函数。

则称x(t)是参数为σ²的布朗运动，或维纳过程。

定义是通过简明陈述来揭示概念内涵或解释命题的逻辑方法，必须要遵守逻辑思维的基本规律。

维纳过程的被定义项x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，因此被定义项x(t)是时间t的函数，维纳过程的定义项（3）对x(t)做了进一步的说明：x(t)是时间t的连续函数（表1）。从随机过程定义的角度看，维纳过程被定义项x(t)只是随机过程X(ω,t)固定ω时的一个样本函数。

  在维纳过程定义的三个定义项中，前两个定义项均将x(t)当作随机变量X(t)加以解释和说明。

从表1可以看出，维纳过程的定义项（1）和定义项（2）没有保持被定义项x(t)时间函数概念的确定和同一，违背了逻辑推理的同一律要求，从而产生了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误。

维纳过程的定义项使用随机变量和时间函数这两个内涵与外延完全不同的数学概念来描述同一对象，出现了违背矛盾律的逻辑错误。

四、结论

维纳过程定义是布朗运动基本数量关系的反映，是《随机过程》布朗运动理论赖以建立的基本原理或逻辑基础，维纳过程定义违反同一律和矛盾律的逻辑错误，导致《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性在逻辑起点上就遭到颠覆式破坏。