又是一年研究生开学季。和同事闲聊，都说现在女生会考试，普遍比男生成绩高。

有“较真”者，偏要用数字来证明：据说我们学院两个学科“生物医学工程”和“食品科学与工程”共招收了445人，算一算男生和女生哪个考分高（比如总分超过300分的人数）。

计算这个比例得知，男生是202/246=82%，女生是162/199=81%。

看吧，还是男生学习好一点点，还是“阳盛阴衰”啊。

不过更“较真”者，说本科里都是女生“学霸”多，敢报学硕的也多，看看学硕和专硕各自的比例吧：

对于两个专业的学硕，男生是65/88=74%，女生是71/94=76%

对于两个专业的专硕，男生是137/158=87%，女生是91/105=87%

咦，这么看，好像是女生成绩更好些（起码不比男生差）。

也就是说，分学硕和专硕时，女生成绩高、男生成绩低；学硕和专硕加起来，却是男生成绩高、女生成绩低。

问题出在哪呢？

估计懂行的人都看出来了，这是著名的“辛普森悖论”现实版之一，由英国统计学家辛普森于1951年提出的悖论，即在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。

我们用数学上的条件概率来转换上面的结果：

那么，不区分的总体来看：

男生成绩 P(Z=1〡X=1) = 0.82   记为式A

女生成绩 P(Z=1〡X=0) = 0.81   记为式B

只看学硕：

男生成绩 P(Z=1〡X=1, Y=1) = 0.74   记为式①

女生成绩 P(Z=1〡X=0, Y=1) = 0.76   记为式②

只看专硕：

男生成绩 P(Z=1〡X=1, Y=0) = 0.87   记为式③

女生成绩 P(Z=1〡X=0, Y=0) = 0.87   记为式④

为了简化表达，我们把X, Y, Z = 0的情况分别记为X', Y'和X'，而X, Y, Z = 1的保持不变。

那么以上6个值依次改写为：

P(Z〡X) = 0.82      式A

P(Z〡X') = 0.81      式B

P(Z〡X, Y) = 0.74    式①

P(Z〡X', Y) = 0.76    式②

P(Z〡X, Y') = 0.87    式③

P(Z〡X', Y') = 0.87    式④

根据概率知识，其中男生总体可分解如下：

P(Z〡X) = P(Z〡X, Y) · P(Y〡X) + P(Z〡X, Y') · P(Y'〡X)

即：

A = ① · P(Y〡X) + ③ · P(Y'〡X)

此式中P(Y〡X)和P(Y'〡X)没有在上面出现过，分别表示男生里学硕的概率和专硕的概率，当然可知P(Y〡X) + P(Y'〡X) = 1。

为了再简化，令Q = P(Y〡X)，上式变为：

A = ① · Q + ③ · (1 - Q)

类似的女生情况：

B = ② · P(Y〡X') + ④ · P(Y'〡X')

此式里，P(Y〡X')和P(Y'〡X') 分别表示女生里学硕的概率和专硕的概率，同样P(Y〡X') + P(Y'〡X') = 1，也令Q’ = P(Y〡X')，上式变为：

B = ② · Q’ + ④ · (1 – Q’)

画成坐标系的结果如下：

因此看成分类的话，男生<女生。为什么总体上会男生>女生呢？

我们可以这样认为：男生成绩A在实线①→③上移动，而女生成绩B在点画线②→④上移动。

而且，如正好在“*”处，那么总体上成绩男生A<女生B，与分类时一致；相反地，A > B，与分类时不一致。

很显然，“*”在何处取决于Q和Q’的取值。Q影响男生A，Q’影响女生B。

比如真的是女生学硕多，那么Q’大，B线上的“*”就接近④，如果这时正好是男生学硕少，Q小，A线上的“*”更接近①，正好低于B线上的（如上图显示），那么就是总体上男生就低于女生的，与分类时一致；反之，就不时一致。

换一种不太抽象的解释，原点O分别和A、B的连线分别组成O-①-③和O-②-④两个三角形向量，示意图如下：

   因此，不光要看①-②、③-④的比较，还要看连成变量后总的A、B的情况。

   我们还可以换一种角度，根据下图，本来我们要考察性别X对成绩Z的影响，但现在增加了学硕/专硕Y的影响：

如果女生真的成绩高，加了区分学硕和专硕这个混扰变量，如果还是保持一致的趋势，一定要满足的条件是：女生报学硕的多，同时男生报学硕的少；否则，就可能发生不一致的情况。

例如上图这样的影响模式，看总体X→Z比加上了“干扰项Y”变成X→Y→Z更合适些。

看来，统计真的会说谎，这个辛普森悖论还有更多的演化版。从当前的实例看，男女生的成绩是差别不大的，基本上是“阴阳和谐”呗，要想成功上岸，还是要靠多努力、多积累。

有言道：If you don’t trust people, you can trust data.

我加一句：If you don’t trust data, you can trust yourself.

（以上参考过各知名视频网站、百科网页、教材专著等，一并致谢。转发请联系我qdong@usst.edu.cn）