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Jones多项式的后续发展
左 芬
2020年9月9日
(按:本文内容略嫌专业,不熟悉相关领域的朋友不建议阅读。)
昨晚得知 Vaughan Jones 因病离世,有些感慨。借此机会总结一下自己最近在纽结方面的学习进展,大多是从 Gukov 的文章中学到的。
1.经典与量子
我们都知道,Jones 多项式是“量子”的,而 Alexander-Conway 多项式是经典的。Baez 等人写的"Gauge Fields, Knots and Gravity"一书中说,Alexander-Conway 多项式用传统代数拓扑的技术如同调论即可理解,因而称之为“经典”的。但我一直以来有个疑问,如何理解二者的关系?因为二者都含有所谓变形参数"q",所以直接取q的经典值1是不对的。从 Gukov 的文章中得知,可以这样理解:考虑用一般李代数 sl(N) 给纽结着色,得到 Jones 多项式的推广 HOMFLY-PT 多项式。N=2 时退回 Jones 多项式,N=0 时退回至 Alexander-Conway 多项式。
2.范畴化
Jones 多项式的一种范畴化是Khovanov 同调,而所谓的纽结Floer 同调可看成Alexander-Conway 多项式的一种范畴化。我猜测纽结Floer 同调在三维流形的类比应该就是早年的 Floer-Atiyah 同调。
3.拓扑切片与光滑切片
判断一个纽结是否是四维空间的拓扑切片,只需计算其Alexander-Conway 多项式是否为1;判断一个纽结是否是四维空间的光滑切片,可以计算其 Khovanov 同调的 Rasmussen s-不变量是否为零。但后者不完备。判断 Conway 纽结是否光滑切片需要进而计算其四维轨迹等价纽结,即Piccirillo纽结的 Rasmussen s-不变量。
4.纽结与四维流形
Witten 曾评价数学家理解的Donaldson-Witten 理论:仍然停留在经典层次上。与此相应,Seiberg-Witten 不变量在纽结邻域剪切/粘合过程中的改变量是该纽结的Alexander-Conway 多项式。
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