旋转不停的陀螺可算是最古老也是最普及的民间玩具了（图1）。山西夏县西阴村出土的属于仰韶文化的陶制陀螺，以及江苏常州圩墩遗址出土的陀螺，它们的历史少说也有五千年了。关于陀螺最早的文字记载为宋朝宫廷内流行的称为 “千千” 的陀螺玩具。前文提到的《帝京景物略》中除叙述 “杨柳儿活，抽陀螺” 的京城民间习俗以外，对陀螺的构造和玩法也有详细的描述：

“陀螺者，木制如小空钟，中实而无柄，绕以鞭之绳而无竹尺，卓于地，急掣其鞭。一掣，陀螺则转，无声也。视其缓而鞭之，转转无复往。转之疾，正如卓立地上，顶光旋旋，影不动也。”

图1  抽陀螺

陀螺是我国各民族的共同喜爱。打陀螺在彝族、佤族、瑶族、哈尼族、苗族、壮族流传已久，是逢年过节的一项传统娱乐活动。全国少数民族传统体育运动会已将打陀螺列为竞赛项目。在西方，陀螺作为消遣玩意最早出现于古代埃及和罗马社会。14世纪英国的一些乡民将抽陀螺作为御寒的体育活动。新西兰的毛利人在葬礼上转动发响声的陀螺。世界各地的玩具店里能见到各种各样的陀螺玩具。

陀螺的魅力在于，它一旦旋转起来就直立不倒。各种陀螺游戏就是用鞭抽打或用线绳抽拉等方法促使它不停顿地旋转。将接触点 O 视为定点，陀螺就是前文中叙述的拉格朗日情形刚体定点运动。它的直立不倒现象依据陀螺的进动性就能做出简单解释：当陀螺绕直立的极轴旋转时，若有扰动使极轴相对地垂线 Z 轴偏离微小角度，则重力产生对支点的力矩 M，其方向垂直于 Z 轴和陀螺极轴 z 组成的平面。设 L 为陀螺相对 O 点的动量矩，根据动量矩定理：

                                                                       dL/dt = M                                                                  (1)

陀螺绕极轴快速转动时，动量矩矢量 L 与极轴方向一致。式 (1) 中左侧的矢量导数等于矢量 L 的端点速度，它与力矩矢量 M 相等，方向相同。于是陀螺受扰后极轴不会朝重力方向倾倒，而是朝与重力呈90度的水平方向运动，偏离 Z 轴的角度则保持不变。表现出刚体的自旋轴 z 围绕固定轴 Z 的圆锥运动，这种运动形态称为刚体的规则进动（regular precession）（图2）。

图2  陀螺的规则进动

       1765年欧拉（Euler,L）（图3）为推导刚体定点运动的动力学方程，建立了以质心 O_c 为原点，与刚体固结的直角坐标系 (O_c-xyz)，x, y, z 各坐标轴为刚体的惯性主轴。如刚体为轴对称体，则以 z 轴为对称轴。再建立以固定点 O 为原点的定参考坐标系 (O-XYZ)。则刚体的位置由 (O_c-xyz) 与 (O-XYZ) 之间的相对位置确定。为便于分析，将 (O_c-xyz) 的原点 O_c 移到与定点 O 重合。欧拉提出用 3 个角度坐标表示坐标系之间的相对位置。方法是先设想 (O-xyz) 与 (O-XYZ) 完全重合，然后绕 OZ 轴转过 ψ 角，再绕 Ox 轴的新位置转过 θ 角，最后再绕 Oz 轴转过 φ 角后到达刚体的实际位置（图4）。3 个角度坐标 ψ, θ, φ 体现了刚体绕定点转动的 3 个自由度，分别称为进动角、章动角和自旋角，统称为欧拉角。

        图3 欧拉（Euler,L. 1707-1783）                                                 图4  欧拉角

利用欧拉角可对规则进动给出更确切的定义：刚体的章动角 θ 保持常值 θ₀，进动角 ψ 和自旋角 φ 随时间匀速增长的运动称为规则进动。就陀螺而言，令 OZ 轴为沿重力方向的垂直轴，则规则进动表现为刚体在绕极轴Oz 旋转的同时，极轴围绕垂直轴作圆锥运动。θ₀ = 0 是一种特殊的规则进动，此时极轴与垂直轴重合，重力对支点的力矩等于零，其直立旋转的状态就能继续维持。旋转不倒的陀螺看起来仿佛已 “入定”，有的文献形象地称之为入睡的陀螺 (sleeping top)。

关于抖空竹的博文里提到过的欧拉情形刚体也可能出现规则进动。双轮空竹的高频抖动就是章动角 θ 极小的规则进动。由于是因惯性产生，可称之为 “自由规则进动”，以区别于上述拉格朗日刚体因重力矩产生的 “强迫规则进动”。

规则进动也是宇宙空间中天体的一种运动方式。以地球为例，地球绕极轴 Oz 的角速度即自转角速度，以 24 小时为周期。将地球的公转轴，即黄轴作为 OZ 轴，Oz 轴相对 OZ 轴偏转的章动角 θ₀ 约为 23.5⁰。地球沿黄道绕 OZ 轴公转，周期为一年。在此过程中，因极轴 Oz 的方向固定不变，不符合上述规则进动的定义。但实际上极轴的方向并非始终不变，只是因为变化极其缓慢而难以察觉。Oz 轴的方向改变导致春分点位置的变化，其移动速度极其缓慢，需要漫长的 25700 年才能在公转轨道即黄道上移动一周。换言之，地球的规则进动周期为 25700 年。天体力学中将地球的这种特殊规则进动称为 “岁差”。此外，地球的章动角 θ₀ 也不是恒定不变，由于太阳和月球的引力影响，θ₀ 以角秒级的幅度作微幅周期性波动。

如上所述，陀螺绕垂直轴旋转时能否直立不倒，取决于受扰后是否产生规则进动。根据经验，陀螺的规则进动与转速密切相关。旋转中的陀螺会因支点的摩擦导致减速，当转速下降到一定程度时，规则进动即不能维持，章动角会逐渐增大直至倾倒。因此才需要不停抽打以维持陀螺的转速。除转速以外，刚体的质量分布情况是另一重要因素，并非任何物体都能成为陀螺。比如捻转一只铅笔，无论使多大劲让它快转都不可能让它直立不倒。可见对陀螺的运动还须作更深入的分析。

假定陀螺的支点 O 位置固定，暂不考虑地面的摩擦。设陀螺的质量为 m，质心 O_c 至支点 O 的距离为 l，陀螺的赤道惯量矩，即相对 Ox 轴和 Oy 轴的转动惯量为 A，陀螺的极惯量矩，即相对 Oz 轴的转动惯量为 C，陀螺绕 Oz 轴匀速旋转的角速度为 ω₀，Oz 轴偏离 OZ 轴的角度为 θ₀。分析表明，上述规则进动仅在旋转角速度满足 ω₀ > ω_0,cr 条件时才可能存在。ω_0,cr 为 ω₀ 的临界角速度：

                                                    ω_0,cr = (2/C)(Amglcosθ₀)^1/2                                                                             (2)

推导过程可参阅原文的注释或文献[1]。对于极轴在垂直轴附近时的规则进动，近似令 θ₀ = 0，临界角速度 ω_0,cr简化为 (2/C)(Amgl)^1/2。由于 ω_0,cr 与陀螺的极惯量矩 C 成反比，陀螺愈瘦长，C 愈小，ω_0,cr 就愈大。对于像铅笔这种质量几乎全部集中在极轴上的细长刚体，C 接近于零，则 ω_0,cr 接近于无限大。于是再大的转速也不可能使它直立稳定旋转。

                        图5  旋转弹丸的稳定性

上述关于陀螺稳定性的分析也适用于旋转弹丸的稳定性。枪弹或炮弹在飞行过程中，与速度 v 接近平行但方向相反的空气动力合力 F 相当于陀螺的重力，其作用点 O_a 在质心 O_c 的前方，对质心 O_c 产生倾覆力矩，会使弹丸不停翻滚影响弹道的准确性（图5）。为避免此现象，受旋转陀螺的启发，让弹丸在飞行中旋转是一项重大技术革新。于是在枪炮的内镗出现了来复线，出镗后的弹丸被迫绕自身的轴线旋转。当旋转角速度大于公式(2) 表示的临界值时，飞行中的弹丸在空气动力作用下也会做规则进动。将速度 v 的方向作为 OZ 轴，与陀螺的规则进动类似，弹丸的规则进动表现为围绕轨道切线的圆锥运动。

参考文献：[1] 刘延柱. 高等动力学(第二版). 北京：高等教育出版社，2016

                    （基于：刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版). 北京：高等教育出版社，2018，第1.4节）