黑体辐射公式

1.什么是“黑体”？

黑体实际上，就是一个“空腔”，可实测到其内，振动、辐射，的各种能量(和动量(虽不能测出))，处于“封闭系统”状态，即：其内的各种能量和动量，可以相互转换、彼此交换，但总量守恒不变，通常不考虑，发“光”的物体，因而，称为“黑”体，一般也不考虑发“声”的情况，只是计及，其内的，热振动、热辐射(也是一种光子，但其波长、频率，都远在红光之外，也是看不见的，“黑”的，但实验测得的黑体辐射的能量密度是E=sT*^4(也可表达为2kT)，该式称为Stefan-Bolzmann公式，s是Stefan-Bolzmann常量。)

实验得出的“黑体”辐射公式，即：能量密度按，波长或频率，的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度(T)有关，而与空腔的形状和组成物质无关。

2.4类粒子，在各种不同情况下，的各种振动和辐射

我们已知：任何物体，当其本身的尺度与其与其它物体相互作用的区域相比，可以忽略的条件下，都可以当作，在其全部，质量或正、负电荷量，中心的一个，中性或带正、负电荷，的“粒子”；按狭义相对论，动量的特性，又从这2种，静止质量m0不=0，的粒子，分别得出，静止质量m0=0的，声子或光子；这4种粒子，分别都有相应的结合能(静止质量、电荷量、h乘频率(声子速度a*，光子速度c))

而且，已知：这4类粒子(m0不=0，电中性的、带，正或负，电荷的，m0=0，声子、光子，)，在如下各不同情况下，分别不同的各种振动和辐射：

电中性的基本粒子：

热振动、热辐射(声子)，声跃迁、声辐射，

带，正或负，电荷，基本粒子：

热振动、热辐射(光子)，光跃迁、光辐射，

在电磁场中，非惯性运动的，韧致辐射，

原子：热振动、热辐射(声子)，声跃迁、声辐射，

核外电子：热振动、热辐射(光子)，光跃迁、光辐射，

黑体辐射公式就是研究空腔中，只有“黑”的，热振动、热辐射的能量按波长（或频率）分布的公式。

实际上，黑体辐射公式，在上述各相应的条件下，也适用于相应的，声振动、声辐射，或光振动、光辐射。

3．维恩位移定律，Wien displacement law

德国物理学家威廉·维恩(Wilhelm Wien)于1893年通过对实验数据的经验总结提出：

在一定温度下，绝对黑体的温度与辐射本领最大值相对应的波长λ的乘积为一常数，即λ(m)T=b(微米) (见图) ，b=0.002897m·K，称为维恩常量。

它表明，当绝对黑体的温度升高时，辐射本领的最大值向短波方向移动。维恩位移定律不仅与黑体辐射的实验曲线的短波部分相符合，而且对黑体辐射的整个能谱都符合，它是经典物理学对黑体辐射问题所能作出的最大限度的探索。

维恩位移定律是针对黑体来说的，说明了黑体越热，其辐射谱光谱辐射力(及某一频率的光辐射能量的能力)的最大值所对应的波长越短，任何温度下物体辐射的频率都是从零到无穷的如图的分布曲线。

维恩位移定律有许多实际的应用，例如通过测定星体的谱线的分布来确定其热力学温度;也可以通过比较物体表面不同区域的颜色变化情况，来确定物体表面的温度分布，这种以图形表示出热力学温度分布又称为热象图。利用热象图的遥感技术可以监测森林防火，也可以用来监测人体某些部位的病变。热象图的应用范围日益广泛，在宇航、工业、医学、军事等方面应用前景很好。

4. 瑞利-金斯公式Rayleigh-Jeans formula

瑞利(1900)和J.H.金斯(1905)根据经典统计理论，研究密封空腔中的电磁场，得到了空腔辐射的能量密度w(v，T)按频率v分布的瑞利-金斯公式Rayleigh-Jeans formula

可简略推导如下：

黑体空腔内，热振动有3维(3个自由度)，热辐射(光子)有2偏振(2个自由度)，

设在频率的微分区间（v,v+dv）内，的自由度数为g(v)dv，则

在频率(0,v)内，总和的自由度数G(v)={g(v)dv,0到v积分}，

按几何关系求得，体积V内G(v)=8∏hν^3V/(3c^3)，

微分G(v)，得：g(v)dv=8∏hv^2V/c^3，

按能量按自由度均分，的理论，即：

令体积V黑体内总能量为E，单位体积，频率间隔(v,(v+dv))内的能量为u(v,T)dv，则：

E/V={u(v,T)dv,0到无穷大积分}={eg*(v)dv,0到无穷大积分}，

e为频率为v的平均能量，则，单位体积，频率间隔(v,(v+dv))内的平均自由度数，g*(v)=g(v)/V=8∏hv^2/c^3。

以e=kT(与频率v无关)代入u(v,T)dv=eg*(v)dv，即得瑞利-金斯公式：

u(v,T)dv=8∏hv^2kT/c^3，

u(λ,T)dλ=8∏hkT/c^2，

由维恩定律，即：u(λ,T)的2次微分=0时，1次微分可以表达为：

u(λ,T)dλ=8∏hTλ/c^2，

就得到以下频率形式表达的维恩公式：

u(v,T)dv=8∏hν^3/c^3，

可见它们都是由能量按自由度均分，的条件，导出的。

如图所示：

维恩黑体辐射公式，在短波波段与实验符合得很好，但

在长波波段与实验有明显的偏离。

瑞利-金斯黑体辐射公式在长波波段与实验符合得很好，却在短波范围，能量密度则迅速地单调上升，同实验结果尖锐矛盾，在物理学史上称作"紫外灾难"，它深刻揭露了经典物理的困难。

5.按现在对4种粒子特性的认识，分析理论公式与实际结果，有的符合、有的偏离，甚至尖锐矛盾，的原因

按经典物理学3维空间各粒子(m0不=0)，运动力做功，各维的动能都可表达为kT(3维共3kT，也可表达为，3hv，注意：各自由度的T、v可以并不相同！)，按狭义相对论，4维时空运动力做功，其3维空间，各维的动能仍可表达为kT(3维共3kT，也可表达为，3hv，各自由度的T、v可以并不相同)，而时轴就是2hv，也相当于2kT(各自由度的T、v可以并不相同)，因此，各振动能与辐射能，各自由度能量之和的“总能量”，按kT计算，因kT是可以连续变化的，即使对总能量取微分的平均值也是对的。因此，维恩位移定律不仅与黑体辐射的实验曲线的短波部分相符合，而且对黑体辐射的整个能谱都符合。

但是，各维辐射能的数值，如果按hv表达，就因各个自由度的频率v，是不同而各自不变的，因此，不能“按自由度均分能量”，就出现：维恩黑体辐射公式，在短波波段与实验符合得很好，但在长波波段与实验有明显的偏离；瑞利-金斯黑体辐射公式在长波波段与实验符合得很好，却在短波范围，能量密度则迅速地单调上升，同实验结果尖锐矛盾。

因此，必须考虑到：各维辐射能的数值，是与频率v，成正比的特性，修改，各自由度能量平均值，按频率v的计算公式。

6.1901年普朗克提出了能量“量子”化假设：

虽然普朗克当年并不了解狭义相对论，甚至，当初还极力反对过，但是，他提出的：辐射场能量密度按波长的分布曲线的线性谐振子，谐振子的能量是不连续的，是一个“量子能量”，hv，的整数倍：

En=nhv，(n=1,2,3,…，)

式中v是振子的振动频率，h是普朗克常量=6.62606896，的观点，却符合，按频率v计算各自由度能量平均值的特性、规律。

根据这个观点，由各自由度频率统计的最可几分布得出的平均能量e，代入u(v,T)dv=eg*(v)dv，即导出普朗克公式：

u(v,T)dv=8∏hν^3/c^3乘1/(e^(hν/(kT))-1)，

就给出辐射场能量密度按频率的分布(如图)。

当hv/kT，在不太高温度、高频范围，的极限条件下，过渡到维恩公式；在高温温度、低频范围，的极限条件下，趋近于瑞利-金斯公式，而精确地贴合于实验得出的黑体辐射能量分布曲线。

圆满地解决了物理学史上的这一"紫外灾难"，得到完全符合实验的黑体辐射(实际上普遍适用于热、光、声，各辐射)能量按频率分布的公式，有重要的基础理论意义与实际应用作用。