本文链接：https://blog.csdn.net/czyt1988/article/details/84995295

知乎上有几个比较好的讲解傅里叶变换的文章：

傅里叶分析之掐死教程（完整版）

通过这些文章都能对频谱有大致了解，但等你自己坐下了，要对一个信号进行频谱分析时，你会发现好多细微的问题其实并没有注意，下面，将讲讲那些细微的问题

实现快速傅里叶变换

忠告：除非你自己为了验证你的能力，或为了验证你对对快速傅里叶变换算法的了解，千万别用自己写的快速傅里叶变换算法，也别在网上随便找一个算法就拿来用，快速傅里叶变换算法全世界比较权威的有FFTW，是由其由MIT(麻省理工学院)的M.Frigo 和S. Johnson 开发，可计算一维或多维实和复数据以及任意规模的DFT。当然，你如果不屑于人家一个学院开发的快速傅里叶变换库，你用你自己写的快速傅里叶变换算法没人拦着你，不过你如果不是用汇编来写那你已经输在了起跑线上了。

废话说那么多就是让你别用自己写的快速傅里叶变换算法，推荐大家使用人家经过十几年磨练的成熟库，其中FFTW就是一个很好的选择

FFT

工程中遇到的问题都是这样的：有一个信号，采样率为fs，求频谱

首先用一段matlab的代码进行成信号

wave为生成的信号，Fs为采样率，这段信号由形如Acos(2πωt+θ)的基本信号组成，中学物理知识都知道，Acos(2πωt+θ)中，A代表幅值，ω为角频率，θ为相位角，傅里叶变换就是把一段信号分解为n个形如Acos(2πωt+θ)基本信号叠加的过程
上面那段信号进行绘制：

傅里叶变换出来的是对应长度的一堆复数，
此复数数组符合如下规律:

• 第一个（索引为0)和N/2的两个复数的虚数部分为0;

• 下标为i和N-i的两个复数共轭，也就是其虚数部分数值相同、符号相反.[1]

把它的模绘图可以看到其特性

由于虚数部共轭和虚数部为0等规律，真正有用的信息保存在下标从0到N/2的N/2+1个虚数中

下面让我们来看看FFT变换之后的那些复数都代表什么意思。

FFT之后得到的是什么数

FFT之后得到的那一串复数是波形对应频率下的幅度特征，注意这个是幅度特征不是复制，下面要讲两个问题：1.如何获取频率，2.如何获取幅值

获取频率

FFT变换如何获取频率？傅里叶变换并没对频率进行任何计算，频率只与采样率和进行傅里叶变换的点数相关，注意这里是进行傅里叶变换的点数而不一定是信号的长度。

FFT变换完第一个数时0Hz频率，0Hz就是没有波动，没有波动有个专业一点的说法，叫直流分量。

后面第二个复数对应的频率是0Hz+频谱分辨率，每隔一个加一次，频谱分辨率$\Delta f $计算公式如下：

式中：
Fs为采样率
N为FFT的点数
因此只要Fs和N定了，频域就定下来了。

FFT变换后的第一个实数 - 直流分量

FFT之后的第一个结果表示了时域信号中的直流成分的多少，所谓直流信号，代表和基准0的偏移量。
上面的结果不好说明，下面再看一个例子：

oneWave 的直流分量是1，但计算结果是8，这里又引入一个问题，FFT之后的数值不是真实的幅值，需要进行转转换，第一个点需要除以N，才能还原为原来的结果

FFT变换后的复数模 - 幅度

假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A

的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍

也就是说，要得出真实幅值，需要把除了第1个点(i=0)以及最后一个点(i=N/2)除以N以外，其余点需要求得的模除以N/2

这是因为傅里叶级数对应时域幅值，其中已经包含了1/N项，而fourier变换中没有该系数，

所以，进行完fft变换后需除以N/2才能与时域对应上。

FFT的计算公式

实际应用中，只有i=0~N/2是有用的

幅度谱，幅值谱？Magnitude，Amplitude？

幅值 Amplitude

幅值就是对于波形的幅值来说的，上面一节说的转换就是把fft计算的结果转化为幅值，英文叫Amplitude

在工程中还经常看到分贝纵坐标的频谱，带分贝的频谱，使用分贝数的好处是，用较小的坐标可以描述很宽的范围。工程上会取20log(Amplitude)转变为分贝。

幅值第n(其中n!=1)点处的fft计算的结果是复数a+bi，模值A=sqrt(a2+b2)，那么实际信号的幅值是2*A/N;

当n=0时(0Hz)，也就是第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍，实际信号的幅值是A/N，注意N是采样点而不是进行FFT的点数

幅度 Magnitude

若对fft的结果不做任何处理，直接取模，那么这个值叫幅度，英文上叫Magnitude，

于是对fft计算的复数结果，其实数和虚数对应如下：

信号补零-提高频谱显示分辨率

有了上面的知识，做出频谱是没有太大问题了，但在频谱分析前，还需要说另外一个问题，前文提到，获取频率频谱需要计算频谱分辨率$ \Delta f = \frac{{Fs}}{N} $。

频谱分辨率数值越小，频谱就越精细，分辨率越高，所以，在一个时间里，能采集的点越多越好。

特别是在采样率高的情况下，采样率作为分子，是降低分辨率的一个因素，因此高频采样中，能采集的点越多越好。

另外吐槽一下，采集前别乱选采样率，要对采集的信号有一定的了解，确定大致感兴趣的频率段，频谱分析的频率范围是[0~Fs/2]，也就是采样率的一半是你频谱的极限。别瞎选，以前就看过不懂采集时选了一个最大的采样率，结果得出来的频谱质量非常差。

在采集点数不足时，有一个方法可以提高频谱分辨率，就是信号补零。注意，这个提高只是视觉上的提高，并没有再物理上有相应的提高。也就是没有的频率成分你补零之后还是没有。

一般如果信号不是2n的长度，会补零把信号补到2n的长度，这样是因为2^n长度的傅里叶信号计算会更快更准。

完整的频谱分析代码

简单起见，这里贴上matlab的代码和Python的代码：

首先matlab：

定义一个函数进行频谱分析

只要输入data波形，Fs采样率，就可以输出Fre和Amp

File:

frequencySpectrum.m

function [Fre,Amp,Ph,Fe] = frequencySpectrum( wave,Fs,varargin)

    %傅里叶变换

    %   data:波形数据

    %   Fs:采样率

    %   varargin:

    % isaddzero->是否补零，默认为1，否则会按照data的长度进行fft

    % scale->幅值的尺度，'amp'为幅值谱，'ampDB'为分贝显示的幅值谱,'mag'为幅度谱就是fft之后直接取模,'magDB'为'mag'对应的分贝

    % isdetrend->是否进行去均值处理，默认为1

    %   得到的是[fre:频率,Amp:幅值,Ph:相位,Fe:原始的复数]

    if (size(wave,1)>1 && size(wave,2) > 1)

    for i=1:size(wave,2)

    [a,b,c,d] = frequencySpectrum_1dim( wave(:,i),Fs,varargin);

    Fre(:,i) = a;

    Amp(:,i) = b;

    Ph(:,i) = c;

    Fe(:,i) = d;

    end

    else

    [Fre,Amp,Ph,Fe] = frequencySpectrum_1dim( wave,Fs,varargin);

    end

end

function [Fre,Amp,Ph,Fe] = frequencySpectrum_1dim( data,Fs,varargin)

    %傅里叶变换

    %   data:波形数据

    %   Fs:采样率

    %   varargin:

    % isaddzero->是否补零，默认为1，否则会按照data的长度进行fft

    % scale->幅值的尺度，'amp'为幅值谱，'ampDB'为分贝显示的幅值谱,'mag'为幅度谱就是fft之后直接取模,'magDB'为'mag'对应的分贝

    % isdetrend->是否进行去均值处理，默认为1

    %   得到的是[fre:频率,Amp:幅值,Ph:相位,Fe:原始的复数]

    isAddZero = 1;

    scale = 'amp';

    isDetrend = 1;

    while length(varargin)>=2

        prop =varargin{1};

        val=varargin{2};

        varargin=varargin(3:end);

        switch lower(prop)

            case 'isaddzero' %是否允许补0

                isAddZero = val;

            case 'scale'

                scale = val;

            case 'isdetrend'

                isDetrend = val;

        end

    end

    n=length(data);

    if isAddZero

        N=2^nextpow2(n);

    else

        N = n;

    end

    if isDetrend

        Y = fft(detrend(data,'constant'),N);

    else

        Y = fft(data,N);

    end

    Fre=(0:N-1)*Fs/N;%频率

    Fre = Fre(1:N/2);

    Amp = dealMag(Y,N,n,scale);

    ang=angle(Y(1:N/2));

    Ph=ang*180/pi;

    Fre = Fre';

    Fe = Amp.*exp(1i.*ang);

end

function amp = dealMag(fftData,fftSize,dataSize,scale)

switch lower(scale)

case 'amp'

amp=abs(fftData);

amp(1)=amp(1)/dataSize;

amp(2:fftSize/2-1)=amp(2:fftSize/2-1)/(dataSize/2);

amp(fftSize/2)=amp(fftSize/2)/dataSize;

amp=amp(1:fftSize/2);

case 'ampdb'

amp=abs(fftData);

amp(1)=amp(1)/fftSize;

amp(2:fftSize/2-1)=amp(2:fftSize/2-1)/(fftSize/2);

amp(fftSize/2)=amp(fftSize/2)/fftSize;

amp=amp(1:fftSize/2);

amp = 20*log(amp);

case 'mag'

amp=abs(fftData(1:fftSize/2));

case 'magdb'

amp=abs(fftData(1:fftSize/2));

amp = 20*log(amp);

otherwise

error('unknow scale type');

end

end

调用示例

N = 256;

t = linspace(0,2*pi,256);

Fs = 100;

t = [0:N-1]./Fs;

waveData = 1*cos(2*pi*10.*t) ...

    + 2*sin(2*pi*15.*t + deg2rad(30)) ...

    + 3*cos(2*pi*20.*t + deg2rad(-30)) ...

    + 4*sin(2*pi*26.5.*t + deg2rad(60)) ...

    ;

Fs = 1/(t(2)-t(1));          

figure

[Fre,Amp] = frequencySpectrum(waveData,Fs);

subplot(2,2,1)

plot(Fre,Amp);

set(gcf,'color','w');

title('amp')

subplot(2,2,2)

[Fre,Amp] = frequencySpectrum(waveData,Fs,'scale','ampdb');

plot(Fre,Amp);

set(gcf,'color','w');

title('ampDB')

subplot(2,2,3)

[Fre,Amp] = frequencySpectrum(waveData,Fs,'scale','mag');

plot(Fre,Amp);

set(gcf,'color','w');

title('mag')

subplot(2,2,4)

[Fre,Amp] = frequencySpectrum(waveData,Fs,'scale','magdb');

plot(Fre,Amp);

set(gcf,'color','w');

title('magDB')

python版本的见GitHub：

https://github.com/czyt1988/DataProcess/blob/master/czy/signal.py

函数spectrum

C++版本的等我写下一篇文章吧：

总结

FFT之后的幅值是需要进行特殊处理才能使用的，并非直接对应我们物理上的幅值，需要进行换算，换算的方法见上文列表

FFT的数据点数可以是原有数据的点数，也可以认为补长，使其有一定的可视分辨率

其实还有：

截断加窗问题

加窗频谱幅值修正问题

等闲的时候再写写了

若有错误请大家指正

#参考文献

[1]用Python做科学计算

 ———————————————— 

版权声明：本文为CSDN博主「尘中远」的原创文章，遵循CC 4.0 by-sa版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。

原文链接：https://blog.csdn.net/czyt1988/article/details/84995295