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Zmn-0033薛问天: 答林益的五个问题。
【编者按:薛问天先生撰文回答了林益先生在Zmn-0032提出的问题。现将该文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】
答林益的五个问题。
不要客气。不敢说【请教】、【赐教】,我们一起共同学习,讨论和切磋。
一、无穷小数,【 有无穷位吗?】
关键看你的【无穷位】指的是什么。 无穷小数有「无穷个位」,但没有 「笫无穷位」。
有穷小数有「有穷个位」,自然,无穷小就有「无穷个位」。也就是说,每个有穷小数的所有的「位」组成的集合是有穷集,而每个无穷小数的「位」的集合是无穷集。
但是要特别注意,每个有穷小数都有它的「最低位」,但是任何无穷小数却没有它的「最低位」,或「笫无穷位」。
由于任何无穷小数的「位」的集合同自然数集合一一对应,因而无穷小数的位集的某些性质同自然数的性质是一致的。例如,每个自然数都是有穷数,即可以由0经有穷次的+1运算而得到,但是所有自然数放在一起组成的集合却是无穷集,不可能在有穷步内生成。自然数中没有「最大数」,也没有「无穷数」。无穷小数的位集也类似 ,所有的位都是有穷位,但位集是无穷集。没有 「最低位」,或「笫无穷位」。
二、康托尔的序数ω是否是有限数,是否是无穷的终点?
康托尔引入了两个数系,一个数系叫「序数」,一个叫「基数」。它们都是「自然数」数系的扩展。也就是说,自然数集是序数集的真子集,叫作「有穷序数」。自然数集也是基数集的真子集,叫作「有穷基数」。引入序数是用来描写良序集的「序型」的,引入基数是用来描写集合的「势(基数)」的。
前面说过,自然数是序数中的有穷序数,描写的是有穷集的序型。ω是序数中引入的第一个描写无穷集序型(即自然数集的序型)的序数.,称为超限序数(或超穷序数)。因而ω不是「有限数」,不是「有穷序数」。按照序数的定义,序数的生成法则,ω不是由空集经有穷次的「后继运算」生成的,而是由所有自然数集作为序数的集合,用「集合并」运算而生成的。
按照序数的大小关系,ω大于所有的自然数,但ω并不是最大的自然数,因而它并不是自然数这个无穷集的终点。另外,我们知道 自然数这个无穷集根本不存在终点。也就是说它们的序关系是这样的:
0,1,2,3,...,n,....,ω,......。
自然数没有终点,没有最大数,但ω大于所有的自然数。注意ω没有前趋,即不存在这样的序数,它的后继是ω。序数的这个特点要特别关注,有很多序数设有前趋。不要误以为把序数排成一排,就一定是一个紧跟着一个。ω前面的「...」代表着无穷个没有终点的序数。
我们知道序数是用有序集合(确切地说是用良序集合)定义的。例如ω={0,1,2,3,...,n,...},显然ω不是这个集合的最大数,而且此集合根本就没有最大数。
但是序数 ω+1={0,1,2,3,...,n,...,ω},可以看出ω是这个集合的最大数。当然你也可以把它看作是这个无穷集合的「终点」。
以上例子说明有些(有序的)无穷集没有最大数,如自然数集无最大数,但是并不等于说所有的(有序)无穷隼都没有最大数,例如集合ω+1就有最大数。因而你引用的【 无穷不能有终点,有终点就不是无穷,】就看其中的无穷指的是什么,如果其中「无穷」说的是自然数这个无穷集,此话没错。但是如果指的是一般的无穷集,这句话就不一定正确。
三、林益先生问道【 既然不可数,就是不能数,无法数,怎么还有一个所谓“基数”来表示区间[0,1]里的实数的个数的2^ℵ0呢?】
从这段问话可以看出,林益先生还没有掌握学习数学的一个最基本的方法。那就是学习和把握一个数学概念,必须根据这个数学概念的定义,而绝对不是对这个数学概念的名称,从字面上说文解字,作各种主观的胡乱臆想和猜测。
在数学上,要了解一个集合「不可数」的意思,绝不能根据「不可数」这三个字的字面含义,胡乱作语义学的解释和猜想。什么【 既然不可数,就是不能数,无法数。】这完全不着边,不靠谱。我们学的是「数学」不是「语文」。学习数学概念就要跟据它的严格的数学定义。不能把「定义」以外的不相干的内容强加给该数学概念。切记切记!这是学数学的最基本的方法。懂得这点才能说你数学入了门,达到了一定的专业水平,否则还只能是数学的旁观者,是看热闹的门外汉。
什么是「不可数」,这是「可数」的否定。「可数」这个数学概念有严格的数学定义。
【定义】一个无穷集合A称为是可数的,如果A能同自然数集N建立一一对应关系。
显然 一个无穷集合A称为是不可数的,就是指A不能同自然数集N建立一一对应关系。也即A同N之间的任何映射都不可能是不重复无遗漏的双射。这里面没有任何【 不能数,无法数】的意思。
在基数理论中把自然数集N,以及能同N建立一一对应的可数无穷集的势称为Aleph_0(ℵ0),把能同单位区间实数集(亦即自然数集的幂集-所有子集构成的集合)。建立一一对应的不可数无穷集的势称为Aleph_1(ℵ1)。这里没有任何矛盾。
顺便对你作点纠正。在数学上「可列」同「可数」是一个概念,有人把可数称为可列。不存在【自然数序列是可列的是不可数的】这样的错误的命题。自然数集合当然是可数的。
关于数的不同进制表示之间的转化,它的依据是「数值相等」以及不同进制表示下的「数值表达式」。
例如对于整数,an...a0(十进制)=bm...b0(二进制)的公式是:
an10^n+...+a010^0 = bm2^m+...+b02^0。
而对于无穷小数,0.a1a2...(十进制)=0.b1b2...(二进制)公式是:
a110^(-1)+a210^(-2)+... = b12^(-1)+b22^(-2)+... 。
区别在于整数的数值是有穷项的和,无穷小数的数值是无穷项的和。而无穷项求和要用「部分和」序列的极限来定义。这同【单位】没有关系。
四、关于半园弧上的点同直线上的点的一一对应,
我同你的观点一致,在几何图形上园弧的两个端点没有直线上的对应点。
不过有人把数轴增广、使增广数轴包括+∞和-∞。人为地(不是几何图形上)让园弧的端点同+∞和-∞对应,也没有什么不妥。
五。林益先生讲的是「实数的无穷小数的表示不唯一」的问题。
就是说同一个实数,可以用不同的无穷小数来表云。例如实数1/2可以表示为无穷小数0..5000.....。也可以表示为0.4999...。
确实有这个问题,实数的无穷小数表示不唯一,但仅限于「有穷小数」。所有的有穷小数(0除外)都有两种不同表示,但有穷小数以外的所有有理数和无理数的表示都是唯一的。
需要说明的是这个不唯一的特性,只要知道就行了,并无大碍,并不影响理论的一致性和协调性。例如实数 0.a1a2...。的求值公式是:
a110^(-1)+a210^(-2)+... 。就是一致的。
0.5000...。同0.4999...。代入此公式求出的值是相等的。要知道无穷项相加的和是定义为「部分和」序列的极限的。也就是说部分和序列0,5,0,50,0.500,,...。同0.49,0.499,0.4999,...。的极限是相等的。部分和序列的极限相等表明它们表示的数值相同,即表示的是同一个实数。
(全文完)
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