1901年，H. Koch证明了：当且仅当黎曼假设成立，则有$\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\log x)$。

定义 $\pi^{*}(x,N)=\frac{x}{\log x}\sum_{n=0}^{N}\frac{n!}{\log^{n}x}$。

则有三角不等式 $|\pi(x)-Li(x)|\leq|\pi(x)-\pi^{*}(x,N)|+|Li(x)-\pi^{*}(x,N)|$。

其中，可以证明$\pi^{*}(x,N)$中的一对整数$x$和$N$满足不等式$\pi^{*}(x,N)<\pi(x)<\pi^{*}(x,N+1)$，以及当$x\geq10^{3}$ 时，整数$N$是变量$\log x$的非减阶梯函数并且近似正比于$\log x$。

在一篇文章中，我们证明了$\pi(x)-\pi^{*}(x,N)<\sqrt{x\log x}$。

在另一篇文章中，我们证明了$Li(x)=\pi^{*}(x,N)+O(\sqrt{x\log x})$。

因此，可以得到$\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x\log x})$。从而，根据Koch定理，黎曼假设成立。