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说明:圆幂定理是什么我就不说了,众所周知的是它包括三种形式,这里只对其中一种形式下的逆定理进行证明。《几何原本》第三卷命题37对圆幂定理的其中一种情况的逆定理进行了证明,并没有用到相似及四点共圆。以下证明是我仿其所作的另外一种情况的圆幂定理逆定理的证明,主要用到了勾股定理和平方差公式。既然称作仿作,当然这里也没有用到三角形外接圆。虽然《原本》里没有下面用到的平方差公式,但这关系不大。
两线段AB、CD相交于点E,且AE、BE上长方形等于CE、DE上长方形,则可证A、B、C、D四点共圆。
证明过程:
首先,当两条线段互相平分时,即AE等于EB且CE等于ED,这时因为AE、BE上长方形等于CE、DE上长方形,
所以AE、BE、CE、DE的每一个都相等,
即A、B、C、D四点共圆,且E为圆心。(第一种情况证明完毕。——刘注)
其次,当AB垂直平分CD时,
连接C和AB中点H。
因为三角形CEH是直角三角形,
所以CH上正方形等于EH上正方形加上CE上正方形,【勾股定理】(CH2=EH2+CE2。——刘注)
又因为CE等于DE,
所以CH上正方形等于CE、DE加上EH上正方形。(CH2=EH2+CE×DE。——刘注)
而CE、DE等于长方形AE、BE,
所以CH上正方形等于长方形AE、BE,加上EH上正方形。(CH2=EH2+AE×BE。——刘注)
又因为AH等于BH,所以长方形AE、BE等于AH与EH的差、AH与EH的和组成的长方形,(AE×BE=(BH+EH)(AH-EH)。——刘注)
即长方形AE、BE等于BH上正方形减去EH上正方形,【平方差公式】(AE×BE=BH2-EH2。——刘注)
所以CH上正方形等于BH上正方形,(CH2=BH2。——刘注)
即CH等于BH。
类似可证DH也等于AH,且H是AB中点,
即A、B、C、D四点共圆,且H是圆心。(至此,第二种情况证明完毕。——刘注)
再次,对于其它情况:
作AB和CD的垂直平分线FH和GH,二者交于H。
连接AH、CH、EH。
因为三角形EFH是直角三角形,所以FH上的正方形等于EH上的正方形减去EF上的正方形。【勾股定理】(FH2=EH2-EF2。——刘注)
两边同时加上AF上的正方形,即FH上的正方形加上AF上的正方形等于AF上的正方形减去EF上的正方形,再加上EH上的正方形。(FH2+AF2=AF2-EF2+EH2。——刘注)
而因为三角形AFH是直角三角形,所以FH上的正方形加上AF上的正方形等于AH上的正方形,【勾股定理】(FH2+AF2=AH2。——刘注)
即AH上正方形等于AF上的正方形减去EF上的正方形,再加上EH上的正方形。(AH2=AF2-EF2+EH2。——刘注)
又因为AF上的正方形减去EF上的正方形,等于AF与EF的和,及AF与EF的差构成的长方形,【平方差公式】(AF2-EF2=(AF+EF)(AF-EF)。——刘注)
且AF与EF的和即为AE,AF与EF的差即为BE,这是因为BF等于AF,
所以,AH上正方形等于长方形AE、BE,加上EH上的正方形。(AH2=AE×BE+EH2,第一步证明完成。——刘注)
类似的,可以证明CH上的正方形等于长方形CE、DE,加上EH上的正方形。(CH2=CE×DE+EH2,第二步证明完成。——刘注)
又因为,长方形AE、BE等于长方形CE、DE,
所以AH上的正方形等于CH上的正方形,
即AH等于CH。(第三步证明完成。——刘注)
因为H是AB、CD垂直平分线上的点,
所以BH也等于AH,DH也等于CH,四者都相等,(第四步证明完成。——刘注)
所以A、B、C、D四点共圆,且H是圆心。(至此,第三种情况证明完毕。——刘注)
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GMT+8, 2024-10-20 01:43
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