量子纠缠可能并不神秘：用数学解释物理

杨义先  教授

北京邮电大学信息安全中心主任

公共大数据国家重点实验室主任

摘要：在微观物理学中，有许多稀奇古怪的现象，搞得老百姓莫名其妙；其实许多物理学家也只是知其然，却不知其所以然。于是，便有人（甚至是非常牛的科学家）搬出了万能的上帝。下面我们也请出一位真上帝，求它帮我们解释诸如电子能级跃迁、波粒二象性、量子纠缠等微观物理学中最玄幻的三个问题。这位真上帝，名叫数学；它将用几乎同样的一句话，就统一揭示了所有这些玄幻的奥秘。希望下面的歪解能让您脑洞大开，哪怕你拿它当作一段相声。

（一）序趣

曾经有位不懂光学，不懂磁学，不懂电学的小伙子，仅用一个数学公式，就把光学、电学、磁学给融为一体了。这个小伙子，就是后来的全能物理学家麦克斯韦；那个数学公式，就是大名鼎鼎的麦克斯韦方程。

曾经还有一位“民科”，利用业余时间，用另一个数学公式，揭示了物理世界中最深奥的物质/能量关系。这位“民科”，就是差点成为以色列总统的爱因斯坦；这个数学公式，就是妇孺皆知的E=mC²。

由此可见，对数学这个上帝，千万别怠慢。要时时真心烧香，天天虔诚叩头。若能持之以恒，保准有求必应；比如，杨傻子我吃斋念佛后，在研究《安全通论》[2,3]时，竟也意外“通”到了另一个世界，偶然掏到了一件“古董”。

本来没想公开此“古董”，因为担心它是赝品；但读罢薛定谔的《生命物理学讲义》后，我就豁出去了。既然老薛在创立了量子力学并获诺奖后，都胆敢不顾声誉，竟像“民科”一样，问出一堆石破天惊的外行问题：物理化学定律为啥在生命中失效，生命是什么，生命有灵魂吗等。更神奇的是，薛定谔的这本不着边际的书，竟然指引另一位科学家沃森，获得了诺贝尔生理和医学奖！

虽然杨傻子的声誉一钱不值，我也没奢望用该“古董”诱发别人获什么奖，但是，作为本序趣的结尾，我还是要照抄薛定谔同志在《生命物理学》[1]一书的自序第一句话：“通常人们会认为，科学家作为在自己的研究领域拥有渊博的第一手知识的权威，是不会随便在自己不精通的领域著书立说的，也就是说高声望者肩负重责。然而，为了能够完成这本书，我恳请抹去我身上所有的声望---倘若真的有的话，这样也就可一并抹去与之相随的重任。”

（二）微分方程组基础

数学家可以忽略此节；有特殊需求者，可查阅任何一本微分方程组的教材，比如[3]的第6章。此处，我们只用最形象、最简捷的语言，复述对后面最有用的部分精华。

1阶微分方程组dX/dt=F(X,t)中，有一族很特别的类，名叫自治方程组，其中时间t不再以显式出现，因此它形如dX/dt=F(X)。此处X和F都是n维向量。

结论1，任何自治的高阶微分方程，都可以等价地转化为某个高维自治的1阶微分方程组。

在微分方程组dX/dt=F(X)中，满足F(X)=0的点称为奇点。奇点又分为结点（含退化结点和奇结点等）、鞍点、焦点、中心点等，不过，本文感兴趣的点只是如下“高密集点”：结点、稳定的退化结点、稳定的奇结点、焦点和中心点（注意：我们放弃了不稳定的退化结点、不稳定的奇结点、鞍点等）。这是因为有，

结论2，在“高密集点”的任何无穷小的邻域内，都有微分方程组dX/dt=F(X)的无穷多条解轨线汇聚其中。这些解曲线的密集程度之高，甚至可能填满某个测度大于0的区域，以至于能从物理上观测到这些点的密集邻域的存在。

注意：1）这里n维函数列向量X=X(t)是dX/dt=F(X)的解轨线，意味着它满足dX(t)/dt=F(X(t))。2）数学上纯粹的点和线，都是没有直径和宽度的，或者说，其测度是0，你根本看不见；但是，当这些点足够多，填满了某个平面时，你就看得见了，更可用物理设备检测出来了。3）物理中的粒子虽小，但是，在数学家的“点”面前，就像是老鼠眼中的大象；粒子运动的轨线虽细，但是，在微分方程组的解轨线面前，就像是小蚯蚓眼中的大蟒蛇。

结论3，如果F(X)在有限区域内连续且有连续偏导，那么对于任何点X₀，微分方程组dX/dt=F(X)都有且只有一条解轨线经过此点。而且，除了奇点之外，任何点X₀附近的解轨线都不再密集，更准确地说，如果某条解曲线满足：当t→∞时，X(t)→X₀，那么，X₀就一定是奇点。

综合结论2和结论3，便可形象地说：除了“高密集点”附近之外，微分方程组dX/dt=F(X)的解轨线都是物理上不可测量的，虽然轨线确实存在，其实至少有一根轨线。

（三）微观物理三大怪象

物理学家可以忽略此节；有特殊需求者，可查阅大学物理专业的相关教材。此处，我们也只用最形象、最简捷的语言，复述微观物理中的相关魔幻现象。它们的正确性是毋庸置疑的，因为，全球物理学家们已经无数次地对这些现象进行了验证，并已经给出了也许只有权威物理学家才懂的、个案性的“知其然”解释。

怪象1：电子的能级跃迁，即，电子在围绕原子核旋转时，其轨迹是不连续的，它会突然从一个能级跳跃到另一个能级，不会有中间状态。

图1：单电子原子的运动模型

物理学家们用氢原子模型对怪象1给出了长篇大论的解释。既然杨傻子我看不懂，也就不敢胡乱评论，只截屏了其中最关键的一张照片（见图1）。但是，从该照片中我却注意到（见红色框部分）：电子围绕原子核运转时，轨道直径r和轨道夹角θ,φ满足一个自治的2阶微分方程。因此，根据结论1，该2阶微分方程可以转化为某个高维1阶微分方程组，即，r, θ,φ满足某个微分方程组dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)^T。

怪象2：波粒二象性，即，所有的粒子或量子，不仅具有粒子的特性，而且也具有波的特性。物理学家们用定态薛定谔方程来解释了该怪象（见下面的截屏照片图2）。

图2：波函数所满足的定态薛定谔方程

虽然我仍然看不懂物理学家们的解释，但是，有如下两点还是清楚的：

1）粒子在势场中的运动，满足图2中的定态薛定谔方程，从中可以求解出波函数Ψ，所以，粒子就是波，而且还是由Ψ所描述的波。因此，下一小节就不再重复解释了。

2）波函数Ψ满足的方程，是图2中的这个2阶自治微分方程，因此，根据结论1，该2阶微分方程可以转化为某个高维1阶微分方程组dX/dt=F(X),其中X=(x,y,z,…)^T,并且x,y,z是包含在波动方程Ψ内的三维位置坐标。

怪象3：量子纠缠，即，在一定条件下发生过关系的两个粒子，分开以后不管距离多远，它们的关系会一直存在，当你改变一个粒子的状态时，另一个粒子也会响应，而且反应速度是瞬间的。

这可能是物理学中最诡异的现象了，查遍所有资料，我都没有找到简捷合理的解释；反而像是什么神啦、鬼啦、灵异啦、上帝啦、意识本质啦、平行世界啦等超自然的解释，却层出不穷。杨傻子是绝对外行，不敢妄议这些解释。但是，我却注意到：当两个量子x₁,x₂产生纠缠时，满足如下积分公式

Ψ(x₁,x₂)=∫exp[ip(x₁-x₂+x₀)/h]dp

其中纠缠形成的波函数Ψ(x₁,x₂)不能分解成x₁和x₂的函数的乘积，即，对任何f(x₁)和g(x₂)都有Ψ(x₁,x₂)≠f(x₁)g(x₂)。这里x₁=(x₁₁,x₁₂,x₁₃),x₂=(x₂₁,x₂₂,x₂₃)表示这两个相互纠缠的粒子x₁和x₂的位置坐标。

纠缠时的积分方程，显然可以转化为微分方程。其实，很可能在量子理论的专业书籍中，应该是先有微分方程，对它求解后才得到了该积分方程；不过，幸好微分方程和积分方程谁先谁后，对我们下一节的解释都无关紧要，反正这不影响如下事实：纠缠的量子x₁和x₂将满足某个自治微分方程组dX/dt=F(X)（其中X=(x₁,x₂,…)=(x₁₁,x₁₂,x₁₃; x₂₁,x₂₂,x₂₃;…)）就够了。

（四）物理怪象的一句话数学解释

基于前面两节的数学和物理知识，现在就来给出微观物理中，上述魔幻现象的数学解释；形象地说，其实我们几乎只用了同样一句咒语，就把所有这些怪兽给打回了原形。原来，在数学家眼里，这些现象都只不过是家常便饭而已，完全没必要大惊小怪。

怪象1的数学解释：电子的能级跃迁，可能是微观物理的任何初学者，首次感到的最不可思议的事情；因为，它与日常生活经验格格不入：不积跬步,竟然也能行至千里！

其实，数学解释可以是这样的：既然电子围绕原子核运转时，轨道直径r和轨道夹角θ,φ满足自治的微分方程组dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)^T。于是，在可能的几个奇点(F(X)=0)附近，电子高度密集地经过（虽然轨线互不相交），以至于填满了“高密集点”邻域的某块测度大于0的区域，从而使其成为可被从物理上观测到的“电子云”。除了这些“电子云”之外，电子的轨线（即，上述微分方程组的解曲线）就突然变得相当稀薄了，以至于物理上不可观测。于是，便造成了这样的错觉：电子好像从一块云，跃迁到另一块云，而没经过中间过程。更进一步地，在各个高度密集的奇点附近，解轨线的密度其实也互不相同，所以，电子云的能级也就互不相同了。

如果我的上述解释还不够清楚的话，那么就来听一个故事：你平常很难看见蝗虫的影子，但某天突然发现它们密集地从天而降，吃光了你家的农田；然后，又突然消失，接着又突然出现在邻村。没人看见它们的飞行轨迹，就好像它们在做“电子跃迁”一样，突然从一个村，跳跃到另一个村，没有中间过程。其实，不是没有中间过程，而是中间过程太稀薄，以至于不可观察而已。

怪象2的数学解释：波粒二象性也完全打破了老百姓的日常经验，让人很蒙圈：光怎么会像芝麻那样是粒子呢？一颗一颗的粒子，咋又成了波呢？

由于“粒子就是波”的结论，已在上一小节说过了，所以，现在只用数学方法来解释“波就是粒子”：既然波动轨迹满足微分方程组dX/dt=F(X)，那么，与怪象1中的解释一样，这些轨迹也将只能高度集中于某些满足F(X)=0的奇点附近，或者说，波的能量也将只能高度集中于这些“高密集点”附近。假若在某点的任意小邻域中，能量已聚焦到足够强的、可被物理检测出来的E>0，那么，根据爱因斯坦方程E=mc²,在该点邻域内，其实就相当于已形成了一个质量为m=Ec^-2的粒子了！

综合而言，其实我们给出了一个更普遍的解释：波和粒子可以是一回事。

怪现象3的数学解释。为了易于理解，我们首先复述一个纯数学事实：如果Y=(y₁,y₂,…)是微分方程组dX/dt=F(X)的一条解轨线，即，dY/dt=F(Y)；那么，对Y中的任何一个足标被变动后，比如将y_i变为a_i，那么，即使Y中的其它足标都保持未变，那么Y^*=(y₁,y₂,…,y_i-1,a_i,y_i+1,…)就不再是原来的那条解轨线了；换句话说，原来的那条解轨线就不会再经过Y^*点了。如果这条轨线是粒子的运动轨线，那么，你若仍然守在Y^*处，就再也看不到那个粒子了；这就像是守株待兔一样。

纯数学事实说清后，回头再说量子纠缠就容易了。因为，既然两个粒子x₁=(x₁₁,x₁₂,x₁₃),x₂=(x₂₁,x₂₂,x₂₃)相互纠缠意味着满足微分方程组dX/dt=F(X)，这里X=(x₁,x₂,…)=(x₁₁,x₁₂,x₁₃;x₂₁,x₂₂,x₂₃;…)，那么，当你变动任何一个粒子时，就相当于变动了解轨线X中的3个足标（比变动一个足标更严重），所以，当你仍然守在原来的位置时，那只“兔子”（这两个粒子纠缠后的共同体）就不见了，于是，另一个粒子也就被改变了。

其实上述解释，不仅仅适用于两个量子的纠缠。无论有多少个量子，比如x₁,x₂,…,x_n，只要它们能够相互纠缠（相应的波函数Ψ(x₁,x₂,…,x_n）不可分解)，并满足某个自治的微分方程组dX/dt=F(X)，那么，它的解曲线X=(x₁,x₂,…,x_n，…)中的任何一个坐标都不能被变动，否则其它粒子都会跟着动，因为，它们也是作为一个整体满足微分方程组的。

附件：

量子纠缠还有另一个科普性的解释，它虽非本文的主体，但也在此顺便介绍，就算供大家娱乐一下吧。

首先，有这样一个容易理解的事实：虽然不可能在同一个时间，不同地点，逮住同一条狗；但却可以听见这同一条狗的叫声，因为声音是波。当你再试图用鸡声去干扰犬吠时，便可将原来的狗叫声，合成了一曲乡村交响乐。

其次，根据图2可知，当两个粒子x₁和x₂相互纠缠后，它们就形成了一个由波函数Ψ(x₁,x₂)所描述的波（相当于那条狗的叫声）。如果你改变任何一个粒子（相当于加点鸡叫声），波函数Ψ(x₁,x₂)也就被改变（相当于合成了那曲乡村交响乐）。

关于量子纠缠，咱老百姓最蒙圈的可能是：两粒相隔万里的纠缠量子，如果动一动其中一个，另一个也会瞬间变动。其实，这类现象太普遍了！说大一点，在万有引力的作用下，太阳系中的星球就已经形成了一个纠缠体；假若你一脚把太阳踢出了银河系，那么，地球的运行轨迹马上就会跟着变形。说小一点，在爱情力量的作用下，你与情人也已形成了一个纠缠体，假若千里之外的她，1天没消息，你就会睡不着觉；1周没消息，你就会吃不下饭；1年没消息，你就已另寻了新欢。

歪解完毕，信不信由您。谢谢！

参考文献

[1]薛定谔，生命物理学讲义，北京联合出版公司出版，2017年4月第1版，北京。

[2]杨义先，钮心忻，安全通论，电子工业出版社，2018年出版，北京。

[3]杨义先，钮心忻，黑客管理学，电子工业出版社。