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由二项分布推导泊松分布和负指数分布
美国归侨冯向军博士,2017年7月19日写于美丽家乡
(一)二项分布
考察由n次随机实验所组成的随机现象,它满足以下条件:1)重复进行n次随机实验;2)n次实验相互独立;3)每次实验仅有两个可能结果;4)每次实验中给定事件出现的概率为p,不出现的概率为1-p。假设X表示n次独立重复实验中给定事件出现的次数,显然X是可以取0,1,…,n等n+1个值的离散随机变量。设这n次实验中,每个“给定事件出现k次的结果”为Ek,显然Ek的发生概率为pk(1-p)n-k。因为这样的结果有:n!/k!(n-k)!个,所以按照柯尔莫哥洛夫概率的可加性,这n次实验中,给定事件出现k次的概率
P(X=k) = n!/(k!(n-k)!)pk (1-p)(n-k) (1-1)
(1-1)式就是二项分布的概率分布表达式。
(二)恒等式
(1+1/n)n ->e, $%uFF081-\lambda/n)^n \rightarrow e^-\lambda$ 当n->无穷大。
(1 - b/ n)n->e-b,当n->无穷大。
(三)泊松分布
假设把时间t等分成n个时间片段。当n足够大时,在每个等分时间片段上给定事件要么出现1次,要么不出现。给定事件出现(1次)的概率与时间片段的长度t/n成正比。有:p = bt/n。按(1-1)式,时间t内给定事件出现的概率的分布为
P(X = k) = n!/(k!(n-k)!)(bt/n)k (1-bt/n)(n-k) (1-2)
P(X = k) = n!/(nk(n-k)!)(1-bt/n)-k(bt)k/k!(1-bt/n)n
= (n/n)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)(1-bt/n)-k(bt)k/k!(1-bt/n)n
当 n->无穷大
P(X = k) =(bt)k / k! e-bt (1-3)
这就是泊松分布。
(三)负指数分布
假设t时间内给定事件都不发生,要等待t时间后给定事件才发生。那么,给定事件在过了t时间后才发生的概率关于等待时间t的分布为:
P(t )= P(X=0) = e-bt (1-4)
这就是负指数分布。
$%uFF081-\AA %uFF09$
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