温伯格的《量子力学讲义》与一个“本科生”科研课题

科研就是科研，不以学历分卑尊。所以，这里的“本科生”三个字需要用一下引号。

当今世界上，活着的物理学家中，温伯格(Weinberg)具有神一般的地位。我对天赋异禀的人，有着不可抗拒的景仰和羡慕。即使他把我的姓(Liu)拼写成了Lv，他还是令我仰望不止。当然，我也没有高洁到完全不计较这件事。

王国维说，“词以境界为最上，有境界则自成高格。”对诗词不敏感的物理学家，如果你读了温伯格编著的《量子力学讲义》(Lectures on Quantum Mechanics)，再读读另外一些流行的高等量子力学教材，容易发现温伯格的物理境界，非凡人可以企及。

书中专有一节讨论约束运动及其量子力学，深获我心。2013年，曾经发现过他在讨论约束运动量子化时存在一个基本错误。当年，我专门写了一篇论文，给出了该问题的全面的解。

Geometric momentum for a particle constrained on a curved hypersurface JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS 54, 122113 (2013) 2013 JMP Geometric momentum for a particle constrained.pdf

必须指出，温伯格关于约束运动的经典力学的一个基本结果，在第一版中也是错误的。在后来的第二版中，尽管写对了，但是在讨论这个公式的量子力学对应时，结论依然是非常可疑。我花了三年时间研究这个问题，但是进展甚微!

2015年秋季学期，讲授《热力学与统计物理》，听众主要是大三(上)学生。最后一节课，已到2016年元月间。和同学们说完再见，长出一口气便匆匆离开教室。等走到了教学楼的外面，本科生DK赶了出来，“刘老师，寒假我不回家了。你能不能在你研究生办公室找个座位，我就在那里学习?”这有何问题? 当然欢迎。另外有两位同学，听说DK来跟刘老大混，也跑了过来。一位叫LD，还有一位后来退出了。“三人行，必有我师焉。”于是心生窃喜。当即决定：这个春节，不能让你们闲过! 你们准备好了没有? 老师嘛，总是时刻准备着让你三个月彻底转运。

在二流大学里，理论物理专业有优势，不过劣势也很明显。尽管湖南大学具有985，211，千年学府等等名头，物理学科已经多年不开设量子场论、连续群理论、高等量子力学(理论物理专业)等高等一点的理论物理必修课。如果学生不自投罗网，就不必要自找苦吃了，权且保留自己一点点专业的高贵感和个人的理想主义色彩。

岳麓书院花繁草茂，岳麓山上树高林密。

学生取得了什么突破?

对于在一个高维曲面f(x)=0上运动的粒子，从黎曼几何的角度，粒子沿测地线运动。如果在高维空间看，粒子受了向心力。数学上，黎曼几何是自洽的，但外部观点的几何却不能独立于黎曼几何。物理上，长期把黎曼几何当成标准的框架来讨论物理学，外部观点的几何仅仅是辅助。

不说引力场量子化的困难，就是如何在弯曲时空背景中处理粒子运动的量子力学，也不容易。对于这一问题，国际上物理学界的说法莫衷一是，相互对立的观点并不鲜见。也许，不从黎曼几何的角度，而是把眼光扩大，从外部空间来看，问题会比较清晰。如果真的从外部空间来看，温伯格给出了一个公式(p.336)。

这是经典力学中的公式，温伯格认为这个公式在量子力学中也成立(p.340)。

在这一点上，温伯格肯定是不对的。量子力学不会来得如此便宜。不过，我还没有能系统地解决这个问题。学生主要针对的是经典力学中的公式。

不考虑外力，V=0，粒子在曲面上自由运动。在经典力学中，这个公式包含的仅仅是纯运动学量和曲面的性质，这个性质和向心力完全一样。注意，这里的平方，实际上是一个张量。

左看右看，经典力学中的公式这个公式不完美(这个公式不难，在温伯格之前，日本物理学家在1992年就得到过)。为什么? 直觉上，应该和向心力一样，不能和曲面方程f(x)=0相关。而如果这个公式只能和曲面的弯曲性质相关，就应该依赖于刻画曲面的弯曲性质的量，例如说曲率，当然也可能依赖于其它的量。

如何把这个公式改写为依赖于曲率的量呢? 有两个结果很清楚：第一，约束在平面曲线上运动粒子的向心力公式是，a=v^2/r，其中的r是曲率半径。这个公式可以很方便地写改为，

其中kappa=1/r为曲率，dp/dt=m a中的m为质量，H=v^2/2m为自由粒子哈密顿。先把一个结果写成意义稍微大一点的形式，是理论物理学家的标配之一，就像把牛顿第二定律写成狭义相对论协变形式一样。

第二，曲面的粒子沿测地线运动，而测地线是有曲率的。

LD和DK一边学习《微分几何》，一边摸爬滚打，经过了大约三四个月的努力，发现了温伯格的结果其实就是这个向心力公式：

不过需要把这里的kappa理解为测地线的第一曲率。比起熟悉的向心力公式a=v^2/r，就是换一个马甲而已。

比照温伯格的结果,无论(9.5.7)还是(9.5.30),我们这个结果至少漂亮多了！物理上，至少发现了向心力公式具有普适性。在一些特殊情况下，这个关系可以直接量子化，其中的动量p就是几何动量！这是一个令人难忘的结果。

我拿到结果后，顺手把其中的一个漏洞补上。然后经过艰苦卓绝的编故事阶段，梳妆完毕，投到了The European Physical Journal C (Particles and Fields) (IF: 4.912)上。该刊2015年JCR分区为物理一区。文章一审之后建议小修(minor revision)。而小修后的修改稿居然从新送审过，今天被接受。文章全文：1st revision.pdf 注意在篇文章的脚注中，狠狠地揶揄了温伯格一把。悄悄地释放了一下我的阴暗心理。

为什么特意标出影响因子和分区? 因为是本科生的论文，学校非常重视这个因子和JCR分区。我是专门查了影响因子才去“定点投篮”。近几年，EPJC的影响因子一直超过Phys Rev A,B,C,D,E，其中只有Phys Rev D是物理一区。

二审编辑意见是直接发表，二审审稿人的意见如下：

Referee: 1
Comments to the Author
I have read the manuscript in question with considerable interest. The paper in itself is clearly written and the results seem in order. The results  represent enough merit to warrant publication in my eyes.
I believe one sentence calling attention on how their results could be important to condensed matter physics is not so bad but this suggestion should not pose an obstacle towards publication.

博导和本科生，谁学谁?

很多人会问，三年级的本科生能干点什么? 我觉得，他们中的能干者，不是比博士生厉害，而是比我们的教授博导们厉害! 请看学生如何“教导”我。

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刘老师：

       您好！

我已经将所有的推导过程写在了附件（1）里，并且我在附件的后面对完整对易进行了较深入的分析，讨论了这样定义对易的合理性，请审阅。

对于这个成果，我想是可以发表在P.R.L.上的。如果文章写得好而且是让大行家审的话，是很有希望通过的。之所以会有这样的想法，是因为我在这个方向已经有了较深的了解以及相当的把握。我想从下面几方面来说明：

1、  约束体系量子化问题自90年代被提出来后，日本的一些研究学者通过波动力学的方法推出了几何势能，可在矩阵力学的框架里，却无法得到合适的几何势能的形式。后来，日本人通过在f一点约束条件下推出了几何势能，便认为f这个约束条件没有物理意义，只有f一点是有意义的。可是后来的研究表明，在一些特殊曲面上，f这个约束条件是有意义的，这说明了日本人的看法是错的。然而，这也仅仅是在特殊曲面上有意义而已，人们还没有找到普适的方法来说明f这个约束条件对于一般曲面是有意义的。实验上已经验证了几何势能的存在，然而理论却无法给出与实验事实相符合的结果。这也说明了这个成果的重要性，因为它成功解决了理论与实验无法自洽的问题。

2、  这项成果是一个理论上的突破，它将改变人们对量子化问题的看法，并且对于以后的工作将会具有指导意义。这个成果是具有里程碑式的意义。

3、  今年的诺贝尔物理学奖颁给了拓扑相变这一与几何相关的领域，这将对文章的成功投稿有很大的帮助。

基于前面两点，我想这个成果是有一定的份量的，第三点则是今年诺奖为我们造了势头。因此，我想很值得去努力尝试将这个成果投在一个好期刊的。

这件事情很重要，请您务必慎重考虑！如果文章最后被拒稿，那就请恕我太高估自己，太自不量力了。

言语中若有不当之处，敬请见谅！

祝好！

DK

2016.10.16

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 不是运动达人，但爱好运动！几天前的校运会，不但是物电学院教授博导中唯一一位参赛者，还参加了3个项目。下图是获奖项目：“下凡”或曰“飞人”。

"大年初八，知心楼二楼，物理与微电子科学学院院长文双春刚一上楼就隐隐听到了授课的声音。走过几间教室，发现是博士生导师刘全慧教授正在指导本科生推演公式。讲台下只有3个学生，但课桌上一堆公式草稿。学生们时而低头推演，时而跟刘教授交流互动。在启发式的研讨中，仿佛有一种科学的磁场弥漫在这间偌大的教室里，嗡嗡地产生着共鸣。"下图是当时的场景之一。