几天前，我写了篇关于拓扑与量子化的介绍文章，少年科学画报的小编觉得有趣，拿去稍作修改发在其微信群了。少年科学画报的读者是小朋友，我的文章里面的很多内容小朋友是可以看懂的。但是我原博文毕竟是写给科学网的读者们，大部分都有博士学位，具有相当的背景知识。量子拓扑之母是整数量子霍尔效应。怎么写得更加直观点，让没有量子物理背景的人也明白呢？我这两天一直在思考这个问题。

$R_H = \frac{V_H}{I_x} = \frac{ v B W}{e v n_e W }=\frac{B}{e n_e}$

非常令人惊奇的是，这个霍尔电阻与宽度 W 无关，与电子的漂移速度无关，只与电子的密度与磁场有关（正比于磁场）。进一步审视这个公式，我们发现霍尔电阻与单位磁通量包含的电子数成反比。经典理论已经有点神奇了。

进一步实验发现更为神奇的现象，强磁场下继续变化磁场，发现霍尔电阻随磁场的变化出现台阶。每一个台阶上，增大磁场，霍尔电阻不变，而且这个电阻值精确地等于普朗克常数除以电子电荷的平方再除以一个整数。继续增大磁场，霍尔电阻跨上一个新的台阶。每个台阶上的霍尔电阻值精确度达到几十亿分之一。我们把这个现象称为整数量子霍尔效应。而且在这个霍尔电阻的平台区，系统在图中的纵向（x）是不导电的，相当于一个绝缘体（纵向电阻为零--为什么？）。在两个台阶之间，系统在纵向则是导电的。用行话说，霍尔电阻的平台区的能带是有间隙（gapped）状态，在不同的有间隙状态之间过渡必须经过一个无间隙状态 ( gapless )。无间隙到有间隙的变化，被视为一种相变。

首先，上图中水泵上面的转轮只有逆时针方向转才工作，倒转不行。我们说这个系统破坏了 time reversal symmetry。如果我们把水车的上面作为一个黑盒子，转动上面的转轮（开始抽水），测量上面出水口的水流量，把水量作为上面那个转轮转动的角度的函数画个图，会是个什么图形呢？由于水车每一节的水都不会装满，一块隔板从上面透出时，上面出水口没有水，继续转动，下面的木板把水推上来，开始有水了。画个图，那么在角度为整数倍时水量为零、相当于绝缘，经过一个范围水量有了，然后又是水量为零。如果把这个图画下了，告诉一个搞凝聚态物理的，说这是某种破坏了 time reversal symmetry 的系统电阻随某个角度的变化，他也许会惊呼：topological phase transition! 然后他会追究什么 edge states，bulk-edge correspondence 之类。

根据能量守恒

$I \int \frac{d\Phi}{dt} = I \Phi_0 = QV_H$

因此，

$R_H = V_H/I = \frac{\Phi_0}{Q}$

磁通量如果是磁通量子 $\Phi_0=h/e$ ，则上面的系统应该恢复原状（Aharonov–Bohm effect－相角变化 2 PI）, Q 应该是电子电荷的整数倍 i e 。每通过一个磁通量子，电荷 i e 被从一条边抽到另一边。现在我们把这个公式与经典的结果对照，我们发现

$i = \frac{\Phi_0 n_e }{B}$

因此 i 是一个磁通量子面积（也就是磁通量为 h/e的面积，h/eB）内的电子数量。对应的霍尔电阻是

$R_H =\frac{h}{i e^2}$