康托对角线证明是无懈可击的吗——数学迷思之七

应行仁老师在博文中说：“要真正挑战数学难题或者已有结果，最好的办法是尽可能简练地把数学问题表述出来，提出证明或者反证。其他无关的一慨不用说。数学玩的是逻辑，除此之外别无原则，如果你的逻辑不能让人读懂，或者你读不懂有关基础知识的逻辑，那就无法交流了。”^[1]

一、康托尔对角线法的原始证明

假如（0，1）区间的实数也是可数的，那么这里任何一个实数对应着一个自然数n，排成一个序列，表中第n个实数就可以表示为F(n)=0.a(n,1)a(n,2)a(n,3)...，这里a(n,k)是序列中F(n)的第k位小数的数字。现在定义一个新的实数b=0.b(1)b(2)b(3)...，其中的b(k)=7如果 a(k,k)=5，否则 b(k)=5。因为b的每一位小数都和顺序表中任何一个实数不一样，这个b不可能在这表中。但顺序表假定是列出了所有（0，1）区间的实数。这个矛盾证明了实数是不可数的。

二、笔者的逻辑（根据前述博文）

（1）维度是测度结构特征值，对于实数集而言，其维度不是确定的，其取值是0~∞。

（2）纯数也是有量纲的，对于实数集而言，无论其维度是多少，其量纲单位都用符号ε（其值等于1/∞）表示；

（3）只有用相同维度的测度量纲单位对集合进行测量，测量值才是有意义的（其值是除0与∞的其他数值）；

（4）对无穷集合的某些操作会改变原集合的测度量纲，产生“无中生有”现象（原因在于ε和∞的潜无穷、实无穷双重性），形成类似物理学中量子测量的问题，即测量结果与实施测量的操作方法相关。

三、根据笔者逻辑对“康托尔对角线证明法”的分析

按照康托尔对角线证明中的假设，其水平行上的每一位分别对应图1中横坐标上线段A（点[0,0]到点[1,0]）上的每个点，其垂直列上的每一位分别对应图1中纵坐标上线段B（点[0,0]到点[0,1]）上的每个点。

显然，图1中线段C（点[0,0]到点[1,1]）的蓝色部分线段与A、B线段是完全相同（能够在同一个量纲单位ε条件下，实现一一对应），而根据康托尔对角线构造方法新构造出的点的集合则是图1中线段C的红色部分，所以新构造出来的点是不可能在[0,1]区间上找到对应，即新构造出来的点已经超出了原来集合的范围，是一些新的点！

根据“对无穷集合的某些操作会改变原集合的测度量纲”，康托尔对角线构造方法就是改变原集合的测度量纲的“某些操作”，其效果相当于执行了y=√2x的函数变换，定义域x的取值区间[0,1]，值域y的取值区间[0,√2 ]，相比区间[0,1]的定义域，值域中产生了一个新的集合——区间[1, √2]。

显然，在同一个量纲单位ε条件下，集合区间[1, √2]中的点在区间[0,1]中当然找不到。所以，康托尔对角线证明法是有缺陷的，由于其对角线构造操作已经改变了测度量纲，所以反证法已经失效（如图1所示），在原集合中找不到新构造的点，并不能推出矛盾，当然也就不能得出实数不可数的结论！

康托尔对角线法的原始证明中，采用了与“阿基里斯跑不过乌龟”悖论相同的手法，通过置换测度量纲单位，在角线法构造前的集合采用了ε量纲单位，而在角线法构造后产生的集合采用了√2ε量纲单位，以此保持一一映射，进而避开了新产生的集合区间[1, √2]的问题。

图1康托尔对角线

参考文献：

[1] 应行仁博客.http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-667230.html