悖论破除——数学迷思之六

根据前文所述，在坚持纯数也是有量纲的前提下，梳理分析一下历史上出现的一些悖论，看看有何发现。

1、巴拿赫-塔斯基悖论

又称为豪斯道夫-巴拿赫-塔斯基悖论，或名为“分球怪论”，是一条数学定理。 1924年斯特凡·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基首次提出这一定理。这一定理指出在选择公理成立的情况下可以将一个三维实心球分成有限（勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。

在现实生活中这种变形之所以不可行，是因为原子的体积不是无限小，数量不是无限大。

根据前文“函数、线性与非线性——数学迷思之五”中的例子1，对巴拿赫-塔斯基悖论的解释如下：作为前提条件的选择公理实质上就是一个能改变测度量纲的映射，其效果如同前文例子1中乘2的作用，证明过程中，利用了ε潜无穷和实无穷的双重性，从一个球“无中生有”地生成了两个球。

2、芝诺悖论之阿基里斯跑不过乌龟

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

这个著名的悖论已经有很多破解版本了！

本文再次进行破解分析如下：

（1）悖论里有两种维度：时间维和空间维；

（2）根据悖论中所述，空间是1维的，其量纲单位是米，初始长度值是100米，在长度的递增过程中，每次新增量都是之前增量的1/10，尽管增加次数可以是∞，但由于总路程S=100+100/10+100/(10*10)+……=100/(1-0.1)=1000/9，S<112米，所以，当阿基里斯追赶到乌龟时，所跑过的路程是一个有限值！

（3）根据悖论中所述，时间也是1维的，但其量纲单位被忽略，使人容易用长度分段的“次”作为量纲单位来用，从而隐瞒了时间增加时，增量值依次递减的事实。就这样，通过偷换测度单位，使得1+0.1+0.01+0.001+……=1/0.9<1.2的过程变成了1+1+1+1+……=∞的过程！得出追赶上乌龟所需时间为∞的结论，最终得出阿基里斯跑不过乌龟的悖论！

这个悖论说明逻辑的确永远无法跨越潜无穷到达实无穷，但是通过意识思维的直接定义，我们可以到达实无穷，而且可以很好地把控实无穷，实际上，勒贝格积分就是这么干的！