在儿童发展心理学研究中，瑞士心理学家皮亚杰（Jean Piaget ，1896-1980）的工作影响深远，他将儿童认知划分为四个不同的阶段：

   1.感知运动阶段（出生到2岁左右）

   2.前运算阶段（2到7岁）

   3.具体运算阶段（7到11岁）

   4.形式运算阶段（12到15岁）

   美国人R.W.柯普兰在他著作《儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义》中，对皮亚杰理论在数学教育上的应用做了较好的总结。这本书的中译本由上海教育出版社于1985年12月出版。

   幼儿掰手指做算术的心理学意义我们暂不做过多议论，仅摘录柯普兰上述著作中引用的皮亚杰的三个重点表述，作为理解幼儿掰手指做算术的心理学意义的参考。

   假定儿童只是从教学中获得数的观念和其它数学概念，那是一种极大的误解。相反，在相当程度上，儿童是自己独立第、自发地发展这些观念和概念的。（中译本第100页）

   计数是首先教给幼儿的数观念之一，但对他们来说，背出来的数几乎没有什么意义。（中译本第100-101页）

   在逻辑-数学结构领域，儿童只对那种他亲自创造的事物才有真正的理解。每当我们试图过急地教给他们什么东西的时候，我们就会阻止儿童亲自再创造它们。因此，不存在什么试图过快地加速这种发展的正当理由，在亲身探索中看来是浪费的时间，对方法的构成是真正有益的。（中译本第41页）

   以下，我们从现代数学意义上对于自然数的认识与理解，来探讨幼儿掰手指做算术的数学化的认知价值。

   人类对于数学的认知就是从对自然数的认识开始，每一个人，无论是否接受过正规的数学教育，都会认为自然数及其运算是简单的事情，但事实果真如此吗？当我们面对“什么是自然数？”“为什么1加1等于2？”这样看似“愚蠢”的问题时，通常都会感到困惑，这似乎不该问的问题竟然并不容易回答！事实上，数学发展到今天，回顾人类对自然数的认识历程，并非像想象的那样简单，严格意义上数的系统（简称数系）的构造的完成甚至是晚近事情。在现代数学中，自然数是用一组被称之为皮亚诺（Peano，1858-1932）公理的5条性质所“定义”，用通俗的话来解释就是：

（1）1是自然数；

（2）每一个自然数n都有一个称为它的后继的自然数n+ ；

（3）1不是任何自然数的后继；

（4）如果两个自然数m、n的后继相等，即m+= n+，则m=n；

（5）（归纳公理）若N的任意子集S满足

     i.   1在S中；

     ii.  n在S中，则n+ 在S中,

  则S就是自然数全体，即S=N。

   这样的公理形式的“定义”，实际上，就是最自然地“数数”过程的形式化描述，现代数学意义上的数系的构造就是基于此。这在幼儿数学教育上的启示是：“数数”的过程就是建立自然数形式系统的过程，这一过程通常是由语言形式（数的发音）的音节构成的，再到识别阿拉伯数字，书写阿拉伯数字，这都是形式意义上的工作，这些工作对于幼儿数的认知是重要的基础，通常，这一形式化的概念的形成过程与其意义的形成总是同步发生的。

   那么，自然数意义的建立是什么时候开始的呢？我们曾谈到，自然数的意义可以从“多少”——基数，“顺序”——序数上开始（见博文儿童掰手指做算术是不好的毛病吗？），皮亚杰等心理学家认为，基数的意义的建构是早于序数的，我们的经验也是如此。也就是说，自然数意义的建构始自于“多少”的概念，即数学中的基数问题。我们暂且不对这一问题做较为数学化的讨论，仅直观地指出，这个概念是通过“数数”的过程，建立要考查“多少”问题的集合与自然数的1对1的对应来完成的，比如，放在盘子中的苹果，如果我们从1开始数数，数到5，没有重复数，也没有落下的苹果，那我们就知道盘子里有5个苹果，数数的过程建立了盘子里的苹果与{1,2,3,4,5}之间的1对1的关系，这就是“多少”问题的实质！儿童建立自然数的意义就从这里开始了，掰手指是这一过程的最重要表现，是需要得到鼓励和强化的自然数认知的重要过程，否则，将会在幼儿数学认知的起步阶段，就使孩子被迫走向远离数学的道路，这是我们都不愿意看到的！