数学的开端和萌芽是随着人类社会的出现而出现的，但正如著名数学史家M. 克莱因所言，作为一门有组织的，独立的，理性的学科来说，在公元前600年到公元前300年古希腊学者登场之前是不存在的.古希腊数学之所以可以得到这样的赞誉，不仅由于它所具有的相对完整的演绎体系，更在于它将数学看成是探求自然界真知的重要方法和途径，使得数学得以在理性的高度与哲学和逻辑学联系在一起，发展成为人类理性文明的最高级形式.

   坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理用演绎法推出，是古希腊人对数学的最大贡献.这种朴素的公理化思想的萌芽在亚里士多德那里得到较为系统的发展，他对定义，公理和公设的论述都是合乎现代精神的.比如，他认为定义只不过是给一批文字定个名，定义必须用现存于所定义事项的某种东西来表述，他还指出，一个定义只能告诉我们一个东西是什么，并不说明它一定存在，证明存在性要用构造（Construction）的方法.对于一切学科所共有的真理，他称之为公理，而只为某一门科学所接受的第一性原理称为公设，公理和公设都是不言自明的，公理和公设的数目越少越好，只要它们能用以证明多有的结果.这些思想都被欧几里得在《几何原本》中所采纳.

   欧几里得生活于公元前300左右的亚历山大城，关于他的生平几乎没有可供参考的历史记载，但他却因为著名的《原本（Elements）》，即我们通常所说的《几何原本》（以下均称《几何原本》），而成为最为现代人所熟知的古希腊数学家.

   《几何原本》由古希腊文写成，成书于古希腊文明的亚历山大利亚时期，最初被译成阿拉伯文，拉丁文得以传播.全世界有20多种文字的版本，19世纪末，有一位学者曾研究指出，自1482年到19世纪末，《几何原本》各种文字一共出版了1000多版.中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552-1610）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的.他们翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力（Alexander Wylie，1815-1887）和中国科学家李善兰（1811-1882）在1857年译出.

   欧几里得《几何原本》共分13卷，内容包括了古希腊数学（不仅仅是几何）的几乎所有内容.按照亚里士多德的朴素的公理化思想框架，整本书以5条公理和5条公设以及一些定义为基础，用演绎的方式，将所有的数学命题以证明的逻辑顺序组织在各卷之中.公理，公设及各卷具体内容如下，为了能够更好地理解公理和公设文本的意义，我们将英文译本流行的表述也列出来，以便于对照理解：

   5条公理（Common Notions）：

  （1）等于同量的量彼此相等.

  Things equal to the same thing are also equal to one another.

  （2）等量加等量，其和仍相等.

  And if equal things are added to equal things then the wholes are equal.

  （3）等量减等量，其差仍相等.

  If equals be taken from equals the remainders will be equal.

  （4）彼此能重合的物体是全等的.

  And things coinciding with one another are equal to one another.

  （5）整体大于部分.

  And the whole [is] greater than the part.

   5条公设（Postulates）

  （1）由任意一点到另外任意一点可以画直线.

  Let it have been postulated to draw a straight-line from any point to any point.

  （2）一条有限直线可以继续延长.

  And to produce a finite straight-line continuously in a straight-line.

  （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆.

  And to draw a circle with any center and radius

  （4）凡直角都彼此相等.

  All right angles are equal to one another.

  （5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交.

  If two right lines meet a third line, so as to make the sum of the two interior angles on the same side less than two right angles, these lines being produced shall meet at some finite distance.

   5条公理是对“常识性”的关于“things”及其关系（相等，加，减，整体，部分）的事实的陈述，这些事实更多是人们对周围环境的直观认知的结果，也正因此欧几里的将其与后面的5条明显关于几何的事实区分为“公理”和“公设”，中文译本通常将“things”译为“量”，在中文意境中多了很多数学的意蕴，恰当与否是值得商榷的.

   《几何原本》各卷具体内容如下：

   第I卷：几何基础.重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第I卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的正逆定理命题1.47，1.48.

   第II卷：几何与代数.讲如何把三角形变成等积的正方形；其中2.12，2.13命题相当于余弦定理.

   第III卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理.

   第IV卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质.

   第V卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一" .

   第VI卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质.

   第五，第七，第八，第九，第X卷：讲述比例和算术的理论；第X卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形.

   第XI卷，十二，十三卷：讲述立体几何的内容.

   除第I卷多给出的5条公设和5公理条外，每一卷均以若干定义开始，定义之后即以顺序安排命题及其证明.比如，第I卷包括23个定义，48个命题，其中第47，48个命题就是著名的勾股定理（毕达哥拉斯定理）及其逆.第II卷有2个定义和14个命题，其中第12，13个命题是勾股定理在钝角三角形和锐角三角形上的推广——余弦定理.第III卷包括关于圆的11个定义和37个命题，其中第35，36，37个命题是圆幂定理及其逆定理.第IV卷包括7个定义和16个命题，涉及到正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正十五边形的作图.第V卷论述了欧多克斯（Eudoxus，约公元前400年）的比例论，包括18个定义25个命题，M. 克莱因认为正是比例论使得古希腊人找到利用几何的不可公度量来替代无理数的方法，按照他的观点，他认为：“1800年以前的数学史实际上所走的道路——完全依据几何来严格处理连续量”，“就欧几里得《几何原本》而言，那里并没有无理数的理论基础”.（[美]M. 克莱因，《古今数学思想（第一册）》，上海科学技术出版社，2002.7，第82-83页.）这个观点是值得商榷的欧多克斯的比例论之所以可以解决不可公度量（即无理数）的问题，正是因为比例论在一定意义上给出了实数的理论基础，从而使无理数的问题得到自然的解决，我们将在后续章节中详细讨论这个问题.第VI卷讨论图形的相似性，包括4个定义与33个命题.第VII卷开始用几何量和比例的性质研究数论，有22个定义和39个命题，其中第一个命题就是著名的辗转相除法.第VIII卷，第IX卷继续讨论数论问题，这两卷都是直接从命题开始，第VIII卷包括27个命题，第IX卷包括39个命题，其中第20个命题是有名的素数有无穷多，命题35给出了等比数列求和公式的一个漂亮的证明，命题36给出了一个数是偶完全数的充分条件.

   《几何原本》内容的设计与安排让我们不得不惊叹于古希腊人的智慧（尽管德国数学家F. 克莱因（F. Klein，1849-1925）认为这有些夸大其辞），实际上，《几何原本》不仅是一本几何专著和教材，它囊括了几乎全部古希腊人所知道的数学，几何，数论与代数，并用公理化方法和几何语言统一在一个系统中.缅怀和重温这样的经典，感受先贤智者千年智慧的荣光，将会是一件快乐而幸福的事情.

  (本文摘自博主所著《几何基础：几何学的起源与发展》，即将由北京师范大学出版社出版。)