布尔网络是一类特殊的模型，在这种模型中， 每个结点代表一种基因或蛋白，其水平只取两个值，或是0或是。而网络中的连接则表示他们间的相互作用。在此基础上就可以建立布尔网络模型，令Si(t)表示结点i在t时刻的状态，则Si(t+1)=f(S(t))，其中f是依据模型而定的布尔函数。一种常用的取法是计算Sj(t)aji，其中aji为结点j对结点i的作用。如果求和结果大于零，令f = 1，若求和结果小于零，令f = 0。

在已知网络的情况下，运用布尔网络模型可以考察系统的动力学特征，比如有几个吸引子，是否具有鲁棒性等，这些属于正向建模了。鄙组一个代表性的工作就是，利用这种方法考察芽殖酵母的细胞周期网络，发现它具有很强的鲁棒性[1]。之后有一些人跟着跳坑，接着做了裂殖酵母和哺乳动物细胞[2]。也有人证明这类布尔网络的结果可以从ODE模型中归化出来[3]。

Shmulevich等人在常规布尔网络模型的基础上开发出了概率布尔网络模型，原始的文章是[4]，这篇文章引用率也有好几百了。但他们自己好像做应用做的不多。一个利用这类模型的例子是韩国人做的，根据调控的强度让f根据一个概率公式取0或1，然后在p53网络上分析网络全局的吸引子：凋亡态(apoptosis)，周期停止等(cell cycle arrest)[5]。由于是概率模型，所以会有更加漂亮的图。他们发现抑制网络中特定的边，可以使得系统有更大概率趋向某个特定的稳态。其实这篇文章用的公式和[6]是完全一样的。

这些都没有谈到逆向工程，利用布尔网络做逆向工程的时间比较早的且比较经典的工作就是REVEAL了[7]。但这其实是一种离散化后利用互信息的做法，跟布尔网络模型有一定的距离。我个人比较认同的一个工作是[8]。这篇文章包含了利用布尔网络反推网络结构所需要的一般步骤，包括，数据维数的降低，数据的离散化，利用模型进行逆向，对逆向得到的网络进行分析几个步骤，有兴趣的同学可以参考。值得一提的是，作者以特殊情况下的吸引子为指标，筛选掉了不少可能的网络。同时逆向工程有助于揭示网络特定拓扑结构和其功能之间的关系。对于一个生物网络，有实现其功能所需要的最小网络，而剩下的调控边，一方面发挥冗余作用，另一方面可以让网络的调控更加鲁棒[9]。

另一个逆向工程的例子是[10]，在这篇文章中，作者利用一个逐步优化的办法，针对实验数据，学习的不仅是网络的调控关系，还有对应各节点的布尔方程。而在之前的逆向工程的例子里，布尔方程的形式一般是固定的。最后需要提到的是拙文[11]，提出了利用布尔网络进行逆向工程时，为了尽可能学习网络结构的信息而需要采用的实验设计。最近我们正在把类似的思路应用到ODE相关的逆向工程中，为求解一些优化问题提供帮助。

[1] Li, F., T. Long, et al. (2004). "The yeast cellcycle network is robustly designed." Proceedings of the National

Academy of Sciences of the United States of America 101(14): 4781-4786.

[2] Davidich, M. I. and S. Bornholdt (2008). "Boolean Network Model Predicts Cell Cycle Sequence of Fission

Yeast." PLoS ONE 3(2): e1672.

[3] Davidich, M. and S. Bornholdt (2008). "The transition from differential equations to Boolean networks:

A case study in simplifying a regulatory network model." Journal of Theoretical Biology 255(3): 269-277.

[4] Shmulevich, I., E. R. Dougherty, et al. (2002). "Probabilistic Boolean networks: a rule-based uncertainty

model for gene regulatory networks." Bioinformatics 18(2): 261-274.

[5] Choi, M., J. Shi, et al. (2012). "Attractor landscape analysis reveals feedback loops in the p53 network

that control the cellular response to DNA damage." Sci Signal 5(251): ra83.

[6] Zhang, Y., M. Qian, et al. (2006). "Stochastic model of yeast cell-cycle network." Physica D: Nonlinear

Phenomena 219(1): 35-39.

[7] Patrik D' haeseleer, S. L., Roland Somogyi (1999). Gene Expression Data Analysis and Modeling.

Pacific Symposium on Biocomputing. Hawaii.

[8] Martin, S., Z. Zhang, et al. (2007). "Boolean dynamics of genetic regulatory networks inferred from

microarray time series data." Bioinformatics 23(7): 866-874.

[9] Wang, G. Y., C. H. Du, et al. (2010). "Process-based network decomposition reveals backbone motif

structure." Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 107(23): 10478-10483.

[10] Saez-Rodriguez, J., L. G. Alexopoulos, et al. (2009). "Discrete logic modelling as a means to link protein

signalling networks with functional analysis of mammalian signal transduction." Mol Syst Biol 5: 331.

[11] Zhang, X., B. Shao, et al. (2013). "A reverse engineering approach to optimize experiments for the

construction of biological regulatory networks." PLoS ONE 8(9): e75931.