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【初看点点点】如果你看的和意念中想的着重在呈现的这几项，那么恭喜你，你的思想和行为很正常，没有想那些“没有一丁点儿意义”的所谓的无穷。从另外一个角度来看，说明此时此刻的你还不具有无形胜有形的无限思想，如果是学过一段时间的大学生，就需要反思了。其实此时，看见的这几项从总体来看只是无关紧要、可有可无、微不足道的，看不见的才是最本质的，即数列或级数“收敛不收敛”，而这个性质与你看到项的大小和多少没有关系，只是取决于通项或这些项是否反映出收敛的特性。就像冰山，你看到的或许是小荷才露尖尖角，实际上却是只恐航母辽宁号，载不动、许多愁。

【课堂点点点】在课堂上看到点点点时我通常说，省略号点点点意味着你看不见的余下的所有项（无穷多项）都蕴含在点点点之中，亦即“万事皆收胸腹内，一切尽在不言中”。有时会开玩笑，李商隐和美人可以“身无彩凤双飞翼，心有灵犀一点通”，这里有三点，如果你再点不通，那美人可就“和羞走，甩门不回首”了。换句话说，你看到的是数列的“形”，而看不见的是数列的“神”，而我们必须从这有限的“形”先猜出无限的“神”（比如收敛否？收敛于多少？收敛快吗？），然后再推证你猜的“神”是否真神。

数列中看见的是有限，点点点看不见的意味深长，那生活中的镜头之外呢？

【镜头之外】

（1）和有些社会人士聊天，有时一听我一周上大概10节课，许多时候都等大双眼，“啊，你一周才上10个小时班？”实际上呢？首先，上10节课和上10小时班绝对不等价；其次，上的10节课只是你看到的a₁，a₂，a₃，而看不见的点点点则在镜头之外；

（2）大家面对同一个老师，在同一个教室，用同样的教材，上同样时长的课，为什么最后有的35、有的95呢？虽然大学里的分数不再是评判学生的唯一尺度，但肯定是重要的尺度之一，出现这种差别的关键在于点点点的镜头之外，即每个学生的业余时间是如何度过的；

（3）1923美国福特公司一台大型电动机发生了故障，为了查清原因，排除故障，公司邀请电机工程师协会的专家来“会诊”，连续数月毫无收获。后来请移居美国的德国科家斯坦敏茨。斯坦敏茨在电机旁搭座帐篷住下来，忙碌两天两夜。最后，在电机旁用粉笔画道线，吩咐说：打开电机，把此处线圈减少16匝，故障就可排除。

工程师照办了，电机果然运转正常，斯坦敏茨向福特公司索要1万美元酬金（千万千万别用现在的价值想一万美元，退一步想国内30年前的一万元意味着什么）。有人说：画条线值1万美金，简直敲竹杠！

斯坦敏茨莞尔一笑，随即在付款单上写上一句话：粉笔画条线，1美元，但知道在哪儿画线值9999美元；

（4）你想穿双可心的耐克鞋，可能要自掏千元，但林丹穿双耐克鞋，耐克公司需要付给林丹百万千万的账单，哪怕你帅气直冲云霄，美的一塌糊涂，也难以改变这个事实，原因就是镜头之外给公司带来的收益云泥之别；

（5）电视新闻中重要任务视察某单位，镜头中：单位门口挂横幅，人们穿戴整齐，动作齐整，齐刷刷的鼓着掌向视察者缓慢而整齐走着，同时会有美女向视察者献花。镜头之外呢？选谁去迎接，穿什么服装，摆什么阵型，让谁来献花，反复的演练到动作一致、笑容可掬等大量的幕后工作。

生活中的每个人其实相当于在数着各自的a₁，a₂，a₃，差别源于每个人的数数能力不同，毅力不同，天赋不同。我只能数到100，我就过100以内的生活，你能数到1000，你就过1000以内的生活，他既能数，又有毅力，可以数到10000，那他就过十万的生活。天赋异禀者，可从有限的a₁，a₂，a₃，推演出递推公式，发现趋于无穷的某种方式，从而攀向金字塔的塔尖，塔尖者的区别在于发现的递推公式不同，趋于无穷的方式不同。