Ising模型众家谈

左  芬 编译

“目前尚未有任何物理上有趣的非平面晶格被完整地求解出来……这类晶格中最简单的，是在平面正方晶格上既有沿着正方形的边，也有沿着对角线的相互作用（有时被称为“英国国旗”晶格）……这多少有点让人沮丧，接近二十年的后续工作没能让我们在理解Onsager-Ising模型本身的解析性质上有多少进展，尽管我们现在通过级数展开可以推导出大量额外信息。……每种方法都千篇一律地复现出跟以上列出的方法几乎一样的结果，而在解析方面几乎毫无突破。这些结果可以总结如下：对于平面晶格，我们知道怎么把零磁场下的配分函数和关联，以及自发磁化和各种边界与杂质效应，都表达为温度的函数；可是对于任何有趣的非平面晶格则无能为力。……这是因为Clifford或Fermi算符线性和的乘积在取“真空到真空上的期望”后再求迹，可以关联到数学上所谓的Pfaffian。这种情况在数学物理中几乎是独一无二的。（求解问题的一种新的有效方法几乎总是会在复现旧结果的同时带来新的结果。）”

                          —— H. N. V. Temperley, 1974

“在未解问题表格中明显缺失的是：

（1）当H≠0时两维Ising 模型自由能的计算，以及（2）三维Ising模型自由能的计算。这一遗漏是有意为之的。这两个问题都极其困难。事实上，它们已经存在四分之一世纪了，而在此期间完全没有进展。（这里的进展指的是在显式解上。）”

                                                           —— 《二维Ising模型》， M.McCoy与吴大峻，1973

“三维情况下确实存在相变，但对其性质的严格计算变得无比困难。在所谓近邻相互作用下的两维情形由Lars Onsager于1944年解出。Onsager解在数学天赋与创造性上都是一项名副其实的壮举，揭示出许多惊人特征，并开启了延续至今的一系列研究。

该解是如此难以弄懂，于是George Uhlenbeck敦促我去化简它。他的原话是，“让它人性化”。在【普林斯顿高等研究】院里我遇见了John C. Ward， 我们确实重新推导出了Onsager的结果。可我们的成功在很大程度上是因为知晓了答案；事实上，我们是由这一结果所引导的。但我们的解却不完整……直到过了好几年，在很多人的努力下，这一推导过程中的空白才得以填补。甚至Feynman也掺和了进来。他听了我1952年在加州理工的两个讲座，并且提出了填补空白所需要的最简洁明了的表述。我唯一一次见过Feynman记笔记就是在这两次讲座上。通常他都遥遥领先于演讲人，但理解组合论据对所有凡人来说都不容易。”

                               —— Mark Kac, 1985

“三维的严格解目前尚未找到。”   

                           —— Richard Feynman, 1972

“很令人费解的是，Ising问题目前已知的两种严格求解方法，也就是Onsager的代数方法和利用Pfaffian的组合方法，有着完全一样的应用范围，尽管它们看上去是如此不同。用一种方法可以降服的问题用另一种也可以降服，而一种方法难以驾驭的问题另一种方法也不能精确解出，尽管失败的原因看起来有着完全不同的数学根源。一方面，不能用Pfaffian方法求解的Ising问题由交叉键的出现所刻画；这种交叉键会在组合生成函数中产生多余的负号，并且通常是所涉晶格，例如三维立方晶格，拓扑结构的体现。另一方面，Onsager方法失效是因为求解过程中所遇到的李代数无法分解为足够简单的代数。人们常说这种复杂代数在相应晶格存在交叉键的时候会出现，尽管对这一结果的明确证明尚未发表过。……很难看出为何这两种方法有着完全相同的局限性……”

                             —— C. A. Hurst, 1965

“二聚体问题和Ising问题最终仅在平面晶格图上得以求解，并且人们发现推广到非平面晶格图（包含所有三维晶格图）是不可能的，因为涉及的Pfaffian数目将增大到无法处理的程度。”

                            —— P. W. Kasteleyn, 1967

“Richard Feynman在1972年声称‘三维的严格解目前尚未找到’。对于本文中考虑的Ising模型，我们的结果提示着一种范式转移：所谓‘目前尚未找到’现在要被取代为‘跨越不同晶格在计算上可能是无法企及的’。”

                            —— Sorin Istrail, 2000