ZX演算

左 芬

上海微观纪元数字科技有限公司

（三）  CZ门

夏天的上海真的如同火炉一般。为了防止烧坏脑子，我们来玩点简单的东西。前面我们介绍了Z-蛛与X-蛛，并用她们重新表示了CX门。同时我们还发现，Z-蛛与X-蛛具有互补性甚至强互补性，类似于坐标与动量的不确定性原理。上回我们用ZX演算图形式证明了CX门的幺正性，并利用三个交错的CX门构建了交换门。这回我们用CZ门来展示一下ZX演算的妙处。

上次我们说CX门在ZX演算中可以表示成Z-蛛与X-蛛的组合：

注意这里时间是自下往上的。所以从“相空间”的角度来看，两个量子比特具有某种对等性。但是在量子电路中，我们通常选定Z表象（“构型空间”），所以会出现控制比特和受控比特的区别，这就是最右边梯形尖角的由来。而CZ门则不一样。CZ 门的定义是：当控制比特为1时，对受控比特作用Z=diag(1,-1)，如下图：

其整体效果是，仅当两个比特都为1时，改变整个体系的符号。因此，CZ门中两个比特的地位是对等的，控制与受控的关系可以任意选择。为了体现这种对等性，人们也把CZ门画成这样：

甚至有时候为了方便，还把控制比特选在下面：

注意我们事实上是通过真值表来证明这种对等性的。当比特数目很大的时候，这当然不是一种有效的方式。能不能直接从电路本身出发加以简化呢？ZX演算在一定程度上可以做到这一点。

利用关系Z=HXH，可以将CZ门用CX门表达：

为了把它完全纳入ZX演算，我们需要定义H门的蜘蛛图。上次我们说Z-蛛和X-蛛既然都是复制，可以很容易地推广到任意输入与任意输出端的情形，而一到一的情形则是恒等操作。我们需要做一点推广来纳入任意单比特门。于是我们定义Z-相位门：

其效果是沿Z轴转动α角度。类似地，定义X-相位门：

实现沿X轴的任意转动。有了她们，可以利用欧拉分解得到Bloch球上的任意转动，也就是任意单比特门。特别地，可以得到H门：

用图形来表示就是

注意我们没有用到沿Y轴的转动，所以H门与通常的定义略有不同。但其功能是相同的，即可实现Z-基与X-基的互换：

Z-相位门与X-相位门满足一些简单的运算规则，以后我们会详加介绍。利用这些规则，可以证明H是幺正的，并且逆就是其自身：

也就是说，两个H门碰到一起就消掉了。还可以证明，H门可以穿过Z-蛛或X-蛛，并改变其颜色：

这里用约等号是因为有可能出现全局相位。这条规则其实也很好理解。因为H门切换Z表象和X表象，因此在三条线上都作用H门可以切换Z-蛛和X-蛛。在输入端再作用一个H门就变成了上图。以上这两条规则具有强大的威力，因为在量子电路中你常常会遇到大量的H门，利用这些规则可以非常直观地加以简化。事实上Nilsen-Chuang书中有不少推导过程和习题可以用H门的穿越和消除来理解。比如，前面提到CZ门可以用CX门表示：

转换成蜘蛛图后，可以将H门穿越到中间：

右图当然是左右对称的。（有一个微妙之处，在上图中我们改用了粗线，代表着我们从态矢量过渡到了密度矩阵，从而消除了相因子。这一点在Coecke和Kissinger的书里很关键，但我们可以暂时忽略。）可以进一步将H门穿越到左边，得到CZ门的另一表示方式。有一点值得注意，量子电路中的控制线通常是机械的，不能作用量子门，那么在上面作用一个H门该如何理解？一种理解方式是将她看成一个二到零的门，根据两端的输入给整个态赋上一个相应的常数。

这次就写这么多吧。后面还会讲到，如何利用CZ门的这种表示形式对她进行推广。