物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（结语）

约翰·贝兹， 迈克·斯徳

2009年3月2日

5. 结语

在本文中我们概述了范畴论如何用于厘清物理、拓扑、逻辑与计算之间的类似性。每个领域都有自己的“物体”（对象）和“过程”（态射）的概念——而这些物体和过程被组织到拥有许多共同性质的范畴中。为了让我们的任务易于处理，我们聚焦于所有闭对称幺半范畴都拥有的那些性质。表4， 罗塞塔石碑的一个扩展版，展示了我们发现的一些类似性。

表4 罗塞塔石碑（扩展版）

不过，我们还仅仅触及皮毛而已！有太多东西可以说了，关于配备额外结构的范畴，以及如何利用它们来强化物理、拓扑、逻辑与计算之间的联系——更不要说从范畴迈向n-范畴时会发生的一切了。而当我们运用这些相似性来得出崭新的想法和意外的关联时，真正的乐趣才会来临。以下是一个例子。

1980年代晚期，威滕意识到，弦论与一种三维拓扑量子场论，进而与纽结和缠结的理论，有着深刻的联系。这导致了大量工作的爆发，而最终从中提取出来的一组美妙结果聚焦于被称为“模张量范畴”的一类紧辫子幺半范畴上。

所有这些似乎看起来只有纯粹的理论兴味，假如不考虑这一事实：磁场中的超导薄膜展示出一种可以很好地借助这类范畴来仿效的效应——“分数量子霍尔效应”。简而言之，就是这些薄膜的激发表现得像粒子，所谓“任意子”。当两个任意子交换位置时，其结果依赖于它们是如何做到的：

因此，一群任意子是由一个辫子张量范畴中的对象来描述的！细节依赖于磁场强度这些东西；可能性则可借助模张量范畴弄清楚。

到此为止全都是关于物理和拓扑。计算在2000年前后进入到游戏中，因为弗里德曼、基塔耶夫、拉尔森与王（正汉）表明某种任意子系统可以作为“通用量子计算机”运行。这意味着，从原理上来说，任何计算都可以通过来回移动任意子来实现。实际上做到这一点远非易事。不过，微软已经建立了一个叫Q计划的研究单元，试图真正做到这一点。毕竟，一个运作的量子计算机会带来巨大的实际价值。

不过无论拓扑量子计算是否真的成为现实，其影响都是非比寻常的。像这样的一个简单的图：

   现在可以看成一个量子过程，缠结，计算——或者任意辫子幺半范畴中的一个抽象态射！这正是我们在关于系统和过程的一种广泛学科中所希望看到的。