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Frobenius 代数

已有 650 次阅读 2021-10-12 21:00 |个人分类:范畴学|系统分类:科研笔记

Frobenius代数

 

左芬

 

今天兴致很高,来聊聊最近读范畴式量子力学和量子计算的新发现:Frobenius代数,也就是满足下图关系的代数(/余代数):

 

图片.png

对于弦论学家们来说,也许这是显然成立的,但其实并不那么显然……

 

当看到这熟悉的代数结构出现的时候,俺还是蛮惊喜的。说是熟悉,因为到此为止俺已经见过她们四次了!分别是:两维拓扑场论,两维有理共形场论,任意子凝聚,以及这次的范畴式量子力学。

 

Frobenius代数在这些方向中都起着至关重要的作用,一两句话是说不清楚的。但我想强调其中一点,就是都出现了交换和不交换(但“对称”)的Frobenius代数,而前者往往是后者的“中心”。不过在不同领域它们代表着不同的含义:

 

在两维拓扑中,交换Frobenius代数表征圆圈(闭弦态),对称Frobenius代数表征线段(开弦态);

两维有理共形场论中,交换Frobenius代数表征内部场(闭弦态),对称Frobenius代数表征边界场(开弦态);

任意子凝聚中,交换Frobenius代数表征凝聚后的体真空,对称Frobenius代数表征边界真空;

范畴式量子力学中,交换Frobenius代数表征经典态,对称Frobenius代数表征量子态。

 

在前三种情形中,前者都是作为后者的中心出现;在最后一种情形中,这一关系似乎不那么明显,也许我还要再好好读读Bob Coecke的书。



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