质量缺失之谜（续）

左 芬

2018年4月

 （按：本文试图借用凝聚态系统中的量子霍尔效应来说明，同时存在两种量子化现象的系统是存在的。甚至量子霍尔效应本身，也跟我们讨论的暗物质甚至暗能量是息息相关的：量子霍尔效应的场论表述是三维陈-西蒙斯理论，而这一理论与三维甚至四维引力都有着千丝万缕的关联。）

上次通过类比星系旋转曲线和黑体辐射谱，我们找到了许多共同点，并且猜测Hubble尺度L（或者临界加速度a0）可能对应着一个新的 Planck 常数。如果这是对的，我们将面对一个双重量子化系统。在数学（或者弦论相关的一些理论）中，这样的情形并不少见。但是在现实中，这样的系统可能出现吗？答案是肯定的，而且尽人皆知：这就是著名的量子Hall效应。

从经典电磁学出发，我们容易导出，Hall电阻正比于外加磁场，正比系数由电子数密度决定。考虑到Aharonov-Bohm效应和磁通量子化，我们实际上观测到的Hall电阻出现一系列的平台，如下图：

这就是整数量子Hall效应（1980）。从图中可以清晰地看出，当整数值越来越大时，经典行为逐渐恢复。

但是当我们更精细地观测上图中的结构时，我们发现在整数平台之间还有许多小的平台：

 或者我们将磁场进一步加大，看得更远些，同样发现更多的结构：

我们发现之前用正整数标志的平台，在这里变成了某种双重量子化结构：我们需要两个互质的正整数来标志所有平台。这就是分数量子Hall效应（1982）。注意当磁场趋于无穷时，我们应该同样得到某种经典行为。

分数量子Hall效应是个非常令人头疼的领域，当然对智商过剩的人们来说，更令他们兴奋。我没有什么好的办法去理解她，只想借用Kazuli Ikeda最近的一些思想，简单地说一点Abel的情形。你可以想象我们的电磁理论存在一种隐藏的对偶结构：在那里的电和磁跟我们正好相反。同时要求磁通的量子化与对偶理论的磁通量子化，会导致分数Hall平台（Abel情形）的出现。物理学家们喜欢把这个对偶直接叫做电磁对偶，但是似乎并不贴切。时髦一点的叫法或许是，几何Langlands对偶；或者更简单点，Langlands对偶……

由于数学上 Langlands对偶的普遍性，我们猜测或许引力同样存在类似的对偶结构，而且这个结构或许能帮助我们解释本文开头提到的不解之谜。

最后提一点天真的想法，星系旋转曲线在加速度降到临界加速度的几分之一时，是否会出现类似整数量子Hall效应的多重平台呢？