约瑟夫森结的PSpice电路模型

周铁戈

PSpice是分析和模拟电路的有力工具，利用PSpice可以方便地求出电路的各种特性，比如直流工作点、频率特性、动态特性等，但是PSpice的元件库中并不包含约瑟夫森结（约瑟夫森结是一种两端超导器件，感兴趣的读者可以在网上搜索）。为了利用PSpice软件对约瑟夫森结进行研究，作者利用积分器和正弦函数等设计了约瑟夫森结在PSpice中的仿真模型，并采用这个模型对约瑟夫森结的一些特性进行了研究。

描述理想约瑟夫森结的基本方程如下：

I为流过约瑟夫森结的超导电流，φ为约瑟夫森结超导电子波函数的相位差，V为约瑟夫森结两端的电压，e和h分别为电子电量和普朗克常量，I_c是约瑟夫森结的临界电流。对（2）积分，代入（1）式，可得：

φ₀是积分常数，取0。根据（3）式就可以设计出图1所示的理想约瑟夫森结的等效电路。图中元件如下

E1，元件为E，位于\LIBRARY\PSPICE\ANALOG.OLB

INTEG1，元件为INTEG，位于\LIBRARY\PSPICE\ABM.OLB

SIN，元件为SIN，位于\LIBRARY\PSPICE\ABM.OLB

G1，元件为G，位于\LIBRARY\PSPICE\ANALOG.OLB

E1是电压控制电压源，它用来采集约瑟夫森结两端的电压并送给积分器，其系数为1；INTEG1是理想积分器，利用它对电压V进行积分，积分系数为4πe/h=3.0385337E15（其中π=3.1415926，e=1.602176E−19，h=6.62607E−34）。SIN是正弦函数，其输出电压是输入电压的正弦值；G1是电压控制电流源，它用来将电压信号转换为电流信号，其系数就是约瑟夫森结的临界电流I_c，设定为0.1mA。可以看出这个电路两端电压与流过电流的关系满足公式（3）。

图 1 理想约瑟夫森结的PSpice电路模型

这是理想约瑟夫森结的模型，对于实际约瑟夫森结的RSJ模型，只要在电路上并联一个电阻即可，对于RCSJ模型，在电路上再并联一个电容即可。

为了验证这一模型的正确性，首先利用这个模型对约瑟夫森结的交流约瑟夫森效应进行仿真。给约瑟夫森结通过一个恒定电流，当电流大于其临界电流时，约瑟夫森结两端的电压是振荡的，图2给出了仿真电路。图中元件介绍如下

I1，名称为IDC，位于\LIBRARY\PSPICE\SOURCE.OLB

R1，名称为R，位于\LIBRARY\PSPICE\ANALOG.OLB

I1是电流源，设定为0.15mA，用于驱动约瑟夫森结。R1是约瑟夫森结的正常态电阻，5欧姆，电路并联R1后构成约瑟夫森结的RSJ模型。图3给出了参数设定，要采用时域分析。

图2 恒定电流驱动约瑟夫森结

图3 PSpice仿真参数设定

图4给出了约瑟夫森结两端电压随时间的变化曲线（这是从PSpice计算结果中导出数据，利用专门绘图软件绘制的曲线），可以看出结两端电压确实是振荡的，而且不是严格的正弦振荡，不过驱动电流越大，就会越接近正弦振荡。

图4 采用电流源驱动时，约瑟夫森结两端的电压随时间的变化

    图5给出的是采用电压源驱动约瑟夫森结的电路，图中电压源V1的名称为VDC，位于\LIBRARY\PSPICE\SOURCE.OLB，仿真时观察流过电压源的电流（就是流过约瑟夫森结的电流）。电压设定为0.5mV。

图5 电压源驱动约瑟夫森结的电路

    图6给出了计算结果，可以看出电流是振荡的，是严格的正弦波，频率约为240GHz，符合约瑟夫森电压-频率关系（483.6 GHz/mV，即约瑟夫森结两端电压为1mV时，电流的振荡频率为483.6GHz）。

图6  电压源驱动约瑟夫森结仿真结果

进一步，我们可以利用模型对约瑟夫森结的IV特性进行计算，图7给出了仿真电路。图中新元件如下：

I2，元件为ISIN，位于\LIBRARY\PSPICE\SOURCE.OLB

PARAMETERS:，元件为PARAM，位于\LIBRARY\PSPICE\SPECIAL.OLB

I2是正弦电流源，用来给约瑟夫森结施加一个交变电流。PARAMETERS用来定义一个全局变量iidc，iidc就是直流电源I1的电流值。仿真时采用时域分析，同时对iidc做参数扫描，就可以得到不同直流电流下约瑟夫森结两端电压随时间变化的曲线。所有曲线都对时间求平均值，就可以得到结两端电压，与直流电流对应在一起就是结的I-V特性曲线。图8给出了仿真时的参数设置。

图7 IV特性仿真电路

图8 参数设置

    图9给出的是没有射频电流（I2的IAMPL设置为0）时的IV特性，可以看到当电流小于约瑟夫森结的临界电流时，约瑟夫森结两端电压为0。当电流超过临界电流时，约瑟夫森结进入有电压的状态。

图9 无射频电流时的IV特性曲线

    图10给出的是有射频电流时（I2的IAMPL设置为0.05mA）的IV特性曲线，可以看到夏皮罗台阶的存在，一次台阶位于0.207mV，由约瑟夫森电压-频率关系可以求出频率约为100.1GHz，这和我们施加的交变电流频率一致。

图10  有射频电流时的I-V特性

后记：大约16年前，读研究生时弄的……