本文纯属个人爱好，但十分的不确定对错。希望能得到各位老师的指正，不胜感激！

音乐的力量总是让人感觉神秘莫测，它可以使紧张、忧郁的心情得到放松，还可以导引快乐的心情直通巅峰；可以营造出庄严庄重的气氛，也可以营造出幽默诙谐的氛围。我们知道，不管是乐器、动物还是人，大自然的一切声音都是由于物体振动产生的，对于声音的描述都可以用频率、幅值、波形等力学量来描述，如果对于学过《振动力学》或《机械振动》的人来说，将音乐中的术语换成力学量来描述，可能会对音乐的理解有很大的帮助。

即便是没有学过音乐的人，相信也知道音乐中的Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si，它们被称为音的唱名。除唱名外，每个音还有音名，对应的就是1、2、3、4、5、6、7，还有另外一种标记法C、D、E、F、G、A、B。这7个音排在一起，又被称为一个音阶。为了方便说明，把音阶对应的音名、唱名对应起来列在下面：

音名：C、 D、 E、 F、 G、 A、 B；

或者：1、 2、  3、  4、 5、 6、 7，

唱名：Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si；

我们知道，不管是乐器还是动物、人，大自然的一切声音都是由于物体振动产生的，音阶中音的高低就是由发声物体在不同振动频率下振动而形成的，当振动频率高时，音听起来就高一点，当振动频率低时，音听起来就低。在历史长河中，人们不断总结那些音听起来好听，那些音不好听，总结和探索出来各音之间的频率关系。本文将借助于频率这一力学量来学习乐理知识中的律制，就是音阶中的每个音的确定方法。

几个基本概念

为了便于说明，我们先解释几个基本概念。如果把每个音从低到高把排列起来，这样的一列音就称为音列，举一个包含低音、中音和高音的例子如下

L1，L2，L3，L4，L5，L6，L7，1，2，3，4，5，6，7，H1，H2，H3，H4，H5，H6，H7

           低音                                    中音                                     高音

（我的公式编辑器不能打下点表示低音，就用L表示低音，用H表示高音。）

在音列中，任意两个音之间的距离叫做音程（频率的差距），在我们熟悉的C调大音阶中，从3到4，从7到H1是半音程，其它相邻两音为全音程，并且一个全音程可以分为两个半音程。音程的度量单位为“度”，表示音之间的距离，比如我们常说的高八度，或叫八度音，就是两个相差八个音级的音，如1和H1，或者2和H2等等；五度音就是1和5，或者2和6等等。

古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年～约前500（490）年）研究了音的高低的理论原因（请参见毕达哥拉斯琴弦实验），他指出当弦长比例为简单比时，弹出的声音就比较“和谐”悦耳，并确定出当弦长比为1:2时为八度音；弦长比为3:2时为五度音，弦长比为3:4时为四度音等等。1759年，法国数学家、物理学家拉格朗日给出了弦振动频率的计算公式：

这里，T表示弦的张力，l是弦长，ρ是弦的密度，A是弦的截面面积。这里的i表示弦的振动阶数。当弦长比为1:2时，说明频率之比为2:1，毕达哥拉斯的结论中八度音的频率之比就是2:1。这样就把音列中一个基本循环的频率范围给定了下来，这一结论成为音乐中的重要基础。所谓的律制，就是在八度音的基础上，生出其它各音来；换言之就是在频率比为1:2的两个振动中，按照一定的规则把音阶中其它振动频率确定出来，构成音阶。

一、五度相生法

五度相生律由毕达哥拉斯学派创立的。具体做法如下：假设确定了do(1)的频率，为f，按照毕达哥拉斯的结论，当频率升3f/2倍时，音程升五度，我们得到sol(5)，如下图：

                            1，             5，                                                  

低音                      中音                     高音

将sol(5)再升五度（频率乘3/2），得到高音的re(H2)，出了中音，如果将H2降八度（频率除以2）就得到中音re(2)。

                            1，2，       5，                ，H2                

低音                       中音                           高音

继续将中音re(2)再升五度（频率乘3/2），得到中音la(6)。如果将la(6)升五度，得到高音mi(H3)，将H3降八度又得到中音的mi(3)。

                   1，2，3      5，6        ，H2，H3            

低音                      中音                     高音

利用该方法，可得到任一音高的频率。当然用同样的方法可以向降音的方向行进，例如1降五度得到L4，再升八度得到4；然后再降再升，获得全音域的音。

二、三分损益法

三分损益法是我国古代音律法，最早见于春秋时期《管子·地员篇》，在《吕氏春秋》、《淮南子》也有记载。我们说某人“五音不全”，所谓“五音”即我国古代律制中“宫商角徵羽”五个音，这主要在于我国早期的音律以五声音阶为主，比现今的七声音阶少两个音。

尽管东西方语言不同，但人的情感需求却惊人的相似。“五音”可以分别对应于西方音阶中的音，如宫相当于do（1），商相当于re（2），角相当于mi（3），徵相当于sou（5），羽相当于la（6）。为了方便理解，列出下列的对应关系：

音名：C、 D、 E、 F、 G、 A、 B；

或者：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7，

唱名：Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si；

古音：宫、商、角、(空)、徵、羽、（空）

以弦为例说明三分损益法，其要点为“三分”，即将弦平均分为三份，“损”一则弦长减少一份，相当于弦长变为原来的2/3；“益”一则弦长增加一份，变为原来的4/3。由于弦长与频率成反比关系，因此“损”意味着频率增加为原来的3/2倍，即升五度“益”意味着频率减少为原来的3/4，降四度。假定do(1)（即宫）为基音，损一频率变为基音的3/2倍（升五度）得到sol(5)（徵音），

                                            宫，        徵，

                              1，          5，                                                  

低音                     中音                    高音

sol(5)（徵音）益一（降四度，频率变为原来的3/4）得到re(2)（商音），re(2)（商音）再损一（升五度，频率变为原来的3/2倍）得到la(6)（羽音），la(6)（羽音）再益一（降四度，频率变为原来的3/4）得到mi(3)（角音）。

                               宫，商，角       徵，羽，

                  1，2， 3          5，6                                                                            

低音                     中音                                          高音

这样得全五音。秦汉以后，出现了变徵和变宫两个变音，分别比徵和宫低半音，成为七声音阶。将mi(3)（角音）损一（升五度）可得si(7)（变宫），再益一（降四度）得降sol(5b)（变徵，b表示降半音，b5和#4是同一个音）。这样就和西方七声音阶基本对应了起来，只是变徵并不完全等于4音，而是高半音。

                                宫，商，角，变徵  徵，羽，变宫

                  1， 2， 3，  #4，   5， 6， 7                        

低音                     中音                                              高音

三、纯律

三分损益法可认为是利用一个五度音和四度音的生律方法，纯律则是选用五度音和大三度音，所谓大三度，就是在音程中不含有半音，如果含有了半音就成为小三度，大三度音如1->3，小三度音如2->4。大三度音的频率是基音频率的5/4倍。假设基音是do(1)，升五度得sol(5)，再升大三度得到si(7)；基音do(1)升大三度得到mi(3)，

                   1，，3，，5，，7                        

低音                      中音                     高音

如果sol(5)升五度得到高音的re(H2)，降八度得到中音的re(2)，再由re(2)升五度得到la(6)，然后la(6)再降大三度得到fa(4)

                   1，2，3，4，5，6，7                        

低音                      中音                     高音

四、十二平均律

前面提到，一个全音程可以分成两个半音程，言外之意，在C调大音阶中，除3->4和7->H1（下一循环开始）是半音外，其余全音，都可以分成两个半音。一个音阶中有12个半音，记为：

1，#1，2，#2，3，4，#4，5，#5，6，#6，7        

在音乐中半音就不能再分了，这里，我们用了#符号表示高半度。考虑一个八度音，从1->H1，其频率比为1:2，如果将八度音内每相邻两音之间的比都设定为同一个比就是十二平均律，该比值为（2开十二次方，即2^(1/12)）。只要知道其中任何一个音的频率，根据这一比例可以轻松的换算出其它音的频率。例如，国际通用的标准高度（第一国际高度）将A音，即唱名La(6)的音定为440Hz，向下#5音的频率为（440除以2^(1/12)），向上7音的频率为（440乘以2^(1/12)），以此类推，获得全部的音。这种确定音律的方法被称为十二平均律，也称十二等程律。

令中国人引以为豪的是，十二平均律由中国人朱载堉发明的，而前提是他发明了以珠算求开方的方法。例如，当发音体的长度为1尺时，低八度音的弦长为2尺（频率减半），然后将2开12次方得频率公比数1.059463094，该公比自乘12次即得十二律中各律音高，乘12次后，正好是长1尺的音高。在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，PereMarin Mersenne在（1636年）其所著《谐声通论》中发表相似的理论。