上次的日记出了一个数学题（http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=49508），我找到答案了！！！看来还是要我自己动手才行，pose到网络上也没有人能帮我，汗！！！查了N多文献，真不容易啊，解答很难看懂，请各位见谅了，因为我也不知道怎么用简单的语言把它描述出来。 

我把题目稍微变一下：

有很多个盒子，每个盒子分别标上0、1、2、3、4、…等等的标号。有N个完全相同的小球，我任意的放进这些盒子里。最后，我要把每个盒子里的球的数量乘以盒子的标号，然后把他们加起来要等于M. （N和M为正整数）

 问，一共有多少种放法？ （求出关于N和M的表达式）

 

注意，题目稍微变了一点点，上次的标号是从1开始的，这次标号是从0开始的，但是这个并没有多少影响，本质还是一样。两个题目有什么关系就留个读者自己思考了。

 

当M<=N的时候，这个问题就是等同于有多少种方案把M分成任意个正整数之和。例如，当M=4时，有5种分配方案，M=1+1+1+1, M=2+1+1, M=2+2, M=3+1, M=4。这个问题是一个数学上非常有名的问题，最初由欧拉提出来的（我和欧拉居然想到了同样的问题，哈哈哈），请参考G. E. Andrews, 《The Theory of Partitions》 Addison-Wesley出版社，1976。在M小于500的时候，都有表可以查，这个在一本书里《Handbook of Mathematical Functions》, edited by M.Abramowitz and I. A. Stegun (Dover, New York, 1972), Chap. 24。了精确的解析解可以在这里找到：H. Rademacher, Proc. Natl. Acad. Sci. Washington 23, 78 (1937)。但是这个精确解析解并不好用，Hardy和Ramanujan给了一个很好用的近似解析解（G. H. Hardy and S. Ramanujan, Proc. London Math. Soc. 17, 75 (1918)）

p(m)~exp[c sqrt(M)]/[4sqrt(3)M]   其中c=sqrt(2/3)Pi.

当M大于N的时候，就要对上式有一点点修正，（请看P. Erdos and J. Lehner, Duke Math. J. 8, 335 (1941)）

P(m)~p(m)exp[-2 exp[-x(M)]/c]  其中 x(M)=cN/(2sqrt(M))-ln[sqrt(M)].

可以看到当sqrt[M]远小于N的时候，p(m)和P(m)几乎相等。

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