人们经常应用狄拉克δ函数，作为瞬间冲击的数学模型，来简化近似计算。例如在电路中，对脉冲电源或电击后，估算此后系统过渡过程的状态。

有人认为：在那电路中，把δ函数当作为脉冲源的数学模型，并不适当，因为高频下电感是决定性的，以上篇《狄拉克δ函数应用的迷思》中，清华大学的电路原理课的那道题为例（见下图），在这理想电源的供电瞬间，与电容串联的感抗是无穷大。具体来说，管脚电感10nH, 如果实际脉冲上升时间做到0.1ns，电容的管脚感抗和并联的电阻有得一比。导致电阻的分流在极限下不可知。这道题就变得没有意义了。

这提问很好，实际上是考虑在工程应用中，怎样建立数学模型和计算的问题，以及抽象模型的适用范围。这值得写篇文章与大家讨论分享。

在工程应用的计算中，我们必须根据应用的情形，将实际的物理装置抽象成简单的数学模型，在这个抽象中，必须忽略一些对结果影响微小的部分。建立好模型后，则是对这模型的数学计算问题。清华的这道题，已是模型化后电路图的计算问题。所以在计算中不必再考虑那些被略去的因素。

当然，质疑的人实际上想说：这样用δ函数表示脉冲电源的电路，能够忽略现实中分布在元件周围的杂散电感吗？

也许可以，也许不能。这只取决于实际的电路是工作在极高频还是其他情况。在不容忽略时，电路模型上必须加上电感存在的元件。具体来说，这工作应该在电源抽象成δ函数之前考虑和完成的。在建立电路模型时，要先对现实中的脉冲电源，考虑其高频分量对线路影响的程度，来决定这抽象的电路系统是否要包括杂散电感等因素。然后也许进一步抽象，把这现实中电源的脉冲函数当作δ函数来简化计算。所以电源是不是表示为δ函数，与模型中是否忽略其他物理因素无关。

实际上的脉冲电源都是电流数值有界的、供电区间很短的时间函数，并非所有这类电源，杂散电感都到了不容忽略的程度。如何处理，则依赖于工程经验和估算分析。常见应用于脉冲电源的电子电路图，无论是分立元件板还是IC，Spec上的电路图，通常都不含有这类在它应用范围可忽略的电感。

极窄幅的脉冲电源，可能高频分量较大，而宽幅则用δ函数的近似计算有较大的误差。所以作为抽象模型，要了解在这之间，有否能忽略杂散电感，且能以δ函数近似计算的适用情况？

先看窄幅的脉冲电源，考虑不利的情形，在上图电容支路串联有10nH的管脚电感，对0.001ms脉冲电源，以1%脉冲宽度来上升，在这10ns上升时间里，对应于100MHh高频的10nH感抗小于10欧姆，不到例中与之并联的电阻的百分之一，而后绝大多数的供电区间里它都没有影响。感抗与频率成正比，与h成反比。在这冲击后的状态计算中，误差是由供电区间电阻分流的电量来决定的，所以这感抗对状态误差的贡献比这1%还小得多。这说明对大于这时宽h的情况，都可以忽略管脚电感的影响。如果工作在更高频，这些电感不容忽略时，就需要在电路图中加上它们。

再估算用δ函数来近似计算的误差。以上图的电路为例，假定矩形脉冲电源的供电区间为h，当h很小时，在供电区间电阻上分流的电量比率是h/(2RC)，代入RC的数值，当h小于10ms时，各种状态量的误差都小于0.5%，误差与h成线性关系，时宽h越小，误差也越小。

大致地说，在脉冲时宽在10ms到0.001ms的脉冲电源电路中，上图都是个很好的估算模型，如允许误差为5%，适用范围还可放大两个数量级。当然这个误差的计算与具体的电路有关，这里只是说明，它确有很好应用的场合。

仍然还有的疑问是，“一般来说，越接近理想（即瞬时的无穷窄脉冲）近似应该越精确，但这里实际上越接近理想，本来可以忽略不计的杂散电感变得越重要，近似越不精确，需要加限制，这和一般的近似是有本质差别。”

这看法是混淆了，用δ函数来简化计算实际的脉冲函数，与如何实现最接近δ函数性质的电源问题。对于作为计算模型的电路图，其脉冲电源的时宽已是确定的，所以能否忽略杂散电感的影响也是确定的，无论模型化的图中是否含有杂散电感的成分，用δ函数来替代具体的脉冲函数计算，都是对相应的模型进行数学近似计算而已，其脉冲时宽越小，近似计算也都是越精确的。在这里并无上述的矛盾。略去杂散电感在极高频时的误差是电路抽象化的考量，与用δ函数来简化计算无关。

最后一个疑问，电路图中的电源，加一个开关来表示短时的供电，不是比δ函数更简单明了吗？

是的。这可以是表示矩形脉冲电源的数学模型。在计算时可再选用δ函数作近似计算。因为δ函数比矩形脉冲电源更抽象，还可以包含其他波形的脉冲电源。但有具体波形的电源具有更多的信息，可以更精确的计算及计算充电时的过渡过程。付出的代价是计算的麻烦。到底数学模型要抽象到什么程度，取决于应用上的需求。