理工科学生都知道狄拉克δ(x) 函数。作为解决实际问题的数学模型，它基本有两种用法。一是类比于分布函数，把所有权重集中在一点，用积分来抽取与之相乘的函数在这点函数值。狄拉克在获取连续谱波函数分解系数时，以此来与离散谱的计算保持形式和直观上的统一。傅立叶变换与傅立叶级数分析的类比即是如此。另一，常用在工程中，称为单位脉冲函数，作为简化计算的近似数学模型，计算系统在极短时间内供应了总量后的状态变化。前者模型关心极限处的性质，用有穷的此岸推测无穷彼岸中的表现，后者用极限来近似现实中瞬间作用后的状态。这两种应用的模型很容易转换地想象，互相解读，非常直观。

$\delta(t)= \right\displaystyle \left\{\begin{matrix} + \infty &\mbox{if} & t=0 \\ 0& \mbox{if} & t\neq 0\end{matrix}\right$    和     $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

这是人们通常了解δ函数的基本性质。上篇《狄拉克δ函数的数学迷思》里谈过，在严格数学意义上，δ函数不是数域到数域的函数，而是个定义在函数空间上的泛函。上面的两个公式不是δ函数的真正定义，前者只是它在函数对偶空间以参数为变量的范数值函数，或看作单位脉冲函数极限情况的性质；后者则是对常值1函数积分内积的泛函值。它们都不足以确定广义函数，只是部分性质的描述。真正能够反映泛函功能的定义应该是：

$\int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(t-s)dt = f(s) \;\;\;\forall f\in C^0(R)$

从δ(x) 函数容易推出一些初等性质，如缩放、对称、平移、线性、代数、微分等等，也有许多典型用法的范例，物理和工程学生多已熟知。有这些知识后，在绝大多数情况可以忘却数学上泛函的定义，以上述δ函数基本性质为数学模型，只用到初等代数运算和微积分的基本概念，便能让物理学者和工程师不需要解微分方程，凭借直观推理得出许多问题的答案。

学了更多数学知识的人会以为，用这个只需要初等数学的工具解题，应该不是件难事。其实，按数学从定义开始的严格推理，与应用者拥有许多已知实例和模式来直观推算，是两种不同的才能。就像程序员自始至终独立开发软件，与在所知甚少已有的大程序中纠错扩展，这是两种不同的技能。

物理学者和工程师的基本功是直观想象，用一个个可以清晰想象的概念作为思考的砖块，被验证或证明成立的事实和理论作为构件，典型模式作为算法结构，通过逐步的推测来理解事物，以此构建心中世界的图像。在这过程中，累积了大量的实例、推理模式和抽象规律。应用起来左右逢源，不再纠结于长考。凡对所学没有清晰图像的人，书没读通，更无把握应用和研究。

现在将δ函数的一个应用为例，挖掘工程师知其然背后的所以然。也以此说明，对工程师们都能轻松解的题，缺乏经验即使更有数学知识，却会在深思中迷惑。

下面是清华大学的电路原理课一道题（图例抄自课文），在几个论坛里，就见过电机、物理和数学大学生和教授，对电阻R上的初始电流 $i_R(0)$ 值的解题争议。吵什么呢？

对工科生都不难推算如下。这个脉冲电源供给的电量 Q 是1mC（题中没给出单位，毫库仑是对电子电路合理的量级），在极短的瞬间加在1mF电容后，产生的电压是 U= 1mC/1mF = 1V，这电压加在电阻 R=1kΩ 上的电流是 I_R(0) = U/R = 1V/1kΩ= 1mA，经过1秒RC电路放电后，电流是 I_R(1)= I_R(0)exp(-1/RC) = 0.368mA. 这不过是考RC线路电流和电学单位而已。

详细点写出公式和推理过程。电量是电流在时间区间上的积分。在脉冲源供电时，这瞬间，电源上所有的电量 Q 都到了电容。按电容上电压与电量的关系，这时电容C两端的电压是 $Q/C$。与之并联的电阻有相等的电压，所以电流 $i_R(0)=Q/RC$。当 $t > 0$ 时，脉冲电源不再供电了，这是典型的电容通过电阻的放电过程，已有熟知的公式：$ i_R(t)  = i_R(0)\exp(-\frac{t}{RC})$。套入数值便得到答案。

对爱思考的人，质疑来了。针对这个推理过程中δ函数作用，凭什么脉冲电源中所有电量都到电容里，去电阻的只有0？

答：供电时，因为持续时间极短，在这无穷小的瞬间，通过电阻的电量为0.

又问：这只有现实中通过电阻的电流 $i_R(0)$ 是有限情况才对呀！既然电源的电流δ(0)可以是无穷大，在这假定的极端情况，为什么 $i_R(0)$ 不能也是无穷大？

这就需要用电压等式来进一步解释。如果 $i_R(0)$ 是无穷大，则电阻和与之并联电容上的电压也是无穷大。这只有电容上的电量也是无穷大才有可能，而已知的电源总电量是1，矛盾排除了这个可能。所以 $i_R(0)$ 必须是个有界的数，不论是多少，这个瞬间流过电阻的电量都是 0。所以说，电源中所有的电量，在无穷大电流下一瞬间都给了电容。当然，实际电路上的电流不可能是无穷大，也没有供电区间为 0 的δ函数电源，但上述的分析推算，不难看出是一个很好的近似，当供电区间非常小时，脉冲电源的电量几乎全到了电容上。在极限情况则全部是了。

既然质疑这 $i_R(0)$ 的数值，我们最好验算一下。这关于电压电流均衡状态的数值，最好用方程来说明。在电源充电的瞬间，根据电流和电压公式，分别有：

$i_R(t)+i_C(t)=\delta(t)\;\;\;(1)$                 $i_R(0+)R=\frac{1}{C}\int_{0-}^{0+}i_C(t)dt\;\;\;(2)$

将式（1）在[0-, 0+]区间（0的无穷小邻域）积分，代人（2）式后有 $\int_{0-}^{0+}i_R(t)dt+i_R(0+)RC =1$ ，便得到 $i_R(0+)=1/RC$ ，这与工科生的算术推理完全一样。

有人再较真这电容的瞬间充电过程。一说是电容在开始充电的瞬间形同短路，它上面的电压是 0，所以电阻上的电流也应该是 0 才对。而上面认为，这电压不是 0，是电容上被脉冲电源瞬间建立起的电压，因此电阻上的电流必须是上面的计算数值。也有的说，这该是你们说的两数中间值。

到底哪个对呢？其实各有道理，一个着眼于电源开始供电的时刻，另一反映了供电完成时刻，还有的在中间。将这供电的瞬间从 0 拉长为实际的区间，在开始供电的过程中，电阻上的电流随着电容充电建立起电压，从 0 开始上升直到最大。在电源停止供电后，才从最高点按指数函数下落。δ(t) 函数是将这个脉冲电源供电区间收缩为一个点的极限情况，所以在这个时间点上，电阻上电流的数值可以是从 0 到 1/RC 区间中某个数值，依它是从脉冲函数的什么相位来看而定。

认真地用数学证明方式验算一下，假设电源供给矩形脉冲电流是：$H_{h,k}(t)$，这里 h 是脉冲时间区间的宽度，k 是在 0 到 1 中的一个时间相位值，我们来看在这供电区间电阻上的电流是多少。

                        $H_{h,k}(t) = \right\displaystyle \left\{\begin{matrix} 0 &\mbox{if} & t<-kh \\ 1/h & \mbox{if} & -kh \le t \le (1-k)h \\ 0 & \mbox{if} & t > (1-k)h \end{matrix}\right$

这个矩形电流脉冲的宽度是 h 高为 1/h，所以总电量是 1，脉冲从 $–kh$ 时刻开始,  $0\le k\le 1$。不难列出这电路上在电阻电流 $i_R(t)$ 的微分方程

$\frac{d }{d t}i_R(t)+\frac{1}{RC}i_R(t)=\frac{1}{RC}H_{h,k}(t)$  它的解在 $-kh \le t \le(1-k)h$ 区间是：

$i_R(t) = \frac{1}{h}(1-\exp(-\frac{t+kh}{RC}))$  我们有 $i_R(0) =\frac{1}{h}(1-\exp(-\frac{kh}{RC}))$ ，

当脉冲宽度趋向 $h \rightarrow0$ 时，矩形电流脉冲函数 $H_{h,k}(t) \rightarrow \delta(t)$，这时有： $i_R(0) =\frac{k}{RC}$，k 是 0 到 1 中的一个数，所以依 0 点在脉冲电流源的相位，$i_R(0)$，可以是 0 到 1/RC 中的某个数值。

再回到极限前的情况，注意到在 0 点矩形电流脉冲并没有结束供电，供电结束是在 $t=(1-k)h$ 时刻，这时电阻上的电流是：

$i_R((1-k)h)) = \frac{1}{h}(1-\exp(-\frac{h}{RC}))$

当脉冲宽度趋向 $h \rightarrow0$  时，电流脉冲 $H_{h,k} f(t) \rightarrow \delta(t)$，供电结束时间 $t=(1-k)h  \rightarrow0$，记为 0+，在这时刻 $i_R(0_+) = \frac{1}{RC}$，可以证明，这对于无论什么样的脉冲电流源理想化成δ函数都是一样的。

数学上 $i_R(t)$ 在 0 点是个函数值从 0 跳跃到 1/RC 的间断点，作为这点的定义值，它具体是哪个数值，对工程应用并没有什么意义，而右极限 $i_R(0_+)$ 的数值，是脉冲电源供电后决定后续变化的初值。所以在应用上不再区分0与0+，认为 $i_R(0)=i_R(0_+)$。在脉冲电源供电期间，通过电阻的电量是它上面的电流对这段时间区间的积分，不难算出当 h 很小时约等于 $h/(2RC)$，以致在极端情况可以忽略。这时所有的电量可以看作都加在电容上。

这便是对这种应用模式的工科计算，穷究到底的数学依据。在分析δ(x) 函数作为动力源的工程系统中，有了可以模仿的范例后，工科生都会很自然地认为它所带来的总量在 $t = 0$ 时刻，可以完成对电容的全部赋予，用直观的算术推理便能得出答案，而不必重覆细究这应用模式的细节证明。

在这里我们可以看出数学和应用者的解法不同。物理和工程的思考如同算术的计算，套用各种熟知的模式，推理直观明朗，至于无实用价值的细节，则不予深究。而数学思考出发于严格的定义，犹如代数的计算，将具体的问题归纳为抽象问题，或再把抽象问题转化成从另一种的抽象，精确分析引用已被证明过的答案，过程严谨冷峻，摒除想象的误导。在上面的分析中，对δ函数，我们只用到不被认为是“定义”的部分性质作为推理的根据，即使在计算中也只把它当作近似中的极端情况，丝毫没有作为泛函来处理。因为在这个工程应用中，我们关心的是现实系统近似的表现，由于极端情况下的性质易于估算，我们以此来简化计算。

如果满足于在工程和教学中的计算应用，你在校所受到的数学训练是足够了。那些都是专业中的前辈，为后辈挑选出来基本的数学工具，也提供了便于仿效的简化计算推理的范例，它们的正确性已经被数学证明和实践检验过，你只要知其然，认真仿效便足以谋生。如果你不满足于此，想知其所以然，还想有所创新，你就要有更深邃的数学眼光。

另一方面，学好数学并不见的就懂得应用。这必须接地气，对应用对象有真实的感觉和经验，才能用虚拟世界里的想象，指引现实天空下的飞翔。