算术是从给定条件和已知数，得出符合条件数值，计算的学问。算法用给定的条件，构造性地定义了从已知数到得数的映射。算术所在的数域仅仅是抽象空间包含的一个实例。近代分析把抽象空间作为给定条件，定义在空间的映射称为算子，研究它们的一般性质。

例如，迭代算法是用相同的子算法，把得数作为下次计算的已知数，一次次地迭代计算来逼近结果的计算方法。抽象空间里的压缩映像是能够应用于这类计算的算法。

距离空间（X，d）具有如下性质的映射称为压缩映像 $T: X \rightarrow X, \;\; d(Tx, Ty)\le ad(x,y), $  $a \in (0, 1), \; \forall x, y \in X$。这里的$d(x,y)$是x和y间的距离，如差值的绝对值及范数等等。应用压缩映像不断地迭代计算，能够逼近至多一个不动点。巴拿赫不动点原理说，压缩映像T在完备距离空间X中，有唯一的不动点x，即 Tx = x. 有了压缩映像T，在X中任取一点x₀，令x_n+1 = Tx_n, n=0,1,2,…，它将收敛于一个不动点x.重要的原理都是简单和直观的。这个定理在分析中是个强有力的工具，以此可以证明空间和流形上的各种的反函数定理，它不仅可用来定性地证明常微分方程解的存在和唯一性，而且是解方程迭代算法的基础。

压缩映像是个算子，可以是线性也可以是非线性的。但在分析中，研究最多并最富有成果的是无穷维空间的线性算子。

为什么要研究无穷维空间的线性算子呢？因为物理的动态系统从初始状态开始的变化，微分方程由状态函数映射成微分关系和边界条件，工程系统由输入转变成输出，都可以看成一个算子作用在函数空间进行变换。出自叠加原理应用和近似的简化，这些算子也多是线性的。微分和积分作为算子是线性的，它们与其他因子组合而成的算子，例如傅立叶变换，拉普拉斯变化等积分变换，线性常微分方程，数理方程，这些数学工具都是无穷空间的线性算子。

数学上，代数关心的是集合中元素在运算映射下的性质。分析则研究这些代数运算在无穷空间中变动极限的性质。这就要考虑集合所在空间的拓扑性质，和了解在这些代数运算角度下空间的结构。上一篇，我们用有界线性泛函的内积形式，揭示了巴拿赫空间以及希尔伯特空间的对偶关系。这里要介绍线性算子的基本性质。

请注意，空间的线性，是集合中的元素对线性运算封闭，例如连续函数集合是线性空间，因为连续函数的数乘和相加仍然是连续函数。而算子的线性，则是算子的映射对空间上的线性运算保持不变的关系，即线性组合的映像等于组合中元素映像的线性组合，例如积分是在闭区间连续函数空间上的线性算子，线性常微分方程的系数可以是非线性的函数。线性算子必须作用在线性空间上，而线性空间上的算子可以是非线性的。

复习一下这里要用到的几个空间的概念。距离空间在集合任意两点中定义有距离，以此定义开球和邻域，生成空间的拓扑。赋范空间是线性空间，是以向量长度为范数导出了距离的距离空间。在这距离定义下，如果它对收敛还是完备的，则称为巴拿赫空间（Banach space）。希尔伯特空间是定义有内积的巴拿赫空间。这篇谈定义在赋范空间上的线性算子。线性代数课程讨论问题在欧几里德空间，它是有穷维的巴拿赫空间$\mathbb{R}^n$，其线性算子在基底下表示为矩阵，它只是局限在有穷维的表现，我们对比地来介绍一般的线性算子。

上篇说过，对线性算子T，如果存在着一个正数c，对其定义域上所有的点都有$\left\|Tx \right \| \le c\left\| x \right \|$，则这个算子是有界的。这个c的下确界称为线性算子T的范数。

欧几里德空间上的线性算子都是连续的和有界的，这在巴拿赫空间未必成立。

例10.1：闭区间[0,1]上连续函数集合C[0,1]，以$\left\|x \right \|_\infty = \max_{0\le t \le 1}|x(t)|$ 为范数构成巴拿赫空间。定义在C[0,1]到C[0,1]的微分算子D，是这空间上的线性算子，它的定义域是在 C[0,1]中所有连续可微函数构成的线性子空间。D不是有界的。因为函数序列$\{x_n(t)|x_n(t)=e^{-nt},n\ge 1\}$在C[0,1]中，有$\left\| x_n \right \|_\infty =1$，不难推出它是个有界的集合（这集合中任何两点的距离都小于2），但是$Dx_n(t)=\frac{d}{dt}x_n(t)=-nx_n(t)$ 的集合，却是C[0,1]中的无界集。算子D将有界的集合映射成无界的像，所以它是无界的算子。

线性算子是否有界，还取决于映射所在空间的拓扑。微分算子D定义在另一范数的空间，可以是有界的。

例10.2：连续函数集合C[0,1]以范数$\left\| x \right \|_\infty$，构成巴拿赫空间。记函数x的导数为x’，连续可微函数集合C¹[0,1]的范数定义为$\left\| x \right \|_1=\left\| x \right \|_\infty + \left\| x' \right\|_\infty$，它也是个巴拿赫空间。

微分算子D也是C¹[0,1]空间到C[0,1]上的线性算子，有

$\left \|Dx \right \|_\infty = \left \| x' \right \|_\infty \le \left\| x \right\|_\infty + \left\| x' \right \|_\infty = \left\| x \right \|_1, \;\;\; \forall x \in C^1[0,1] $，

这说明C¹[0,1]空间中有界的集合，在算子D映射下在C[0,1]上仍然是有界的，所以它是这空间里有界的算子。

尽管赋范空间中线性算子不一定是有界的，但有界性和连续性却是等价的，甚至只要在某一点上连续，它们就有了全体的连续性和有界性。

在欧几里德空间，线性算子T，用下面的内积式子，可以定义它的对偶算子T*，

$\left\langle Tx, y \right \rangle = \left \langle x, T^* y \right \rangle, \;\;\;  \forall x \in \mathbb{R}^n, \;\; \forall y \in \mathbb{R}^m$

用矩阵表示，T*是T的共轭转置矩阵。对于赋范空间，我们也对线性算子用相同的方法定义其对偶算子。不过从空间X到Y的算子不一定对全空间都有定义，例如在微分算子T在连续函数空间C[0,1]，只对其中连续可微的函数有定义。上述的定义只限在各自的定义域里。

算子T的定义域记为D(T)。如果D(T)是稠集，即空间X中任何一个点，都可以表示为D(T)中点序列的极限，T则称为是稠定的。赋范空间X到巴拿赫空间Y上的有界线性算子，如果是稠定的，它可以唯一地（按连续性）延拓到整个空间，成为定义在X上的有界算子，且算子的范数与原来的相等。

如果T的值域充满了Y的全空间，则称为是满的。如果D(T)中的序列(x_n)当x_n→x，Tx_n→y，有x也在D(T)中，Tx=y，则称T是闭的。闭算子定义域中所有的点x与对应像Tx的组合(x, Tx)，在$X \times Y$空间中是个闭集。

如果T是两个希尔伯特空间中的线性算子，T是稠定的则T*是闭的，如果T还是闭的，则T*也是稠定的，而且有T**=T。

欧几里德空间上的线性算子，可以表达成矩阵A，其范数$ \left \| A \right \| $是它与共轭转置矩阵相乘A’A最大特征值的开平方值，它们的全体也是个欧几里德空间。相应的，赋范空间X到巴拿赫空间Y上的有界线性算子，所有这些有界线性算子$L(X,Y)$，在算子的范数下也是巴拿赫空间。

微分方程可以看成算子T作用在线性距离空间的点上，等于另一空间的点（函数，初始或边界条件），例如Tu = v。应用算子理论研究微分方程，解的存在性对应着算子T有右逆，解的唯一性对应着算子T有左逆，所以T的逆算子存在意味着解的存在和唯一性。解的稳定性说，当参数、边界或初始条件变化很小时，解也应该变化很小，这对应着逆算子的连续性即有界性。在未知是否有逆时，稳定性的要求表达成算子的开映像性质，而微分方程解对初值一致连续性则表达成算子族的一致有界性。

这些问题，对于巴拿赫空间X到Y的线性算子T，都已经有了很好的答案。

开映像定理：如果T是闭的和满的，对于任意小的 ε>0，有相应的 δ>0，使得

$ \forall y\in Y, \; \left \| y \right \| < \delta \Rightarrow \exists x \in D(T), \; \left\|x\right\|<\epsilon , \; y=Tx$

简言之，开集的像是开的。

巴拿赫逆算子定理：如果T是闭的，满的，一一对应的，则它的逆算子存在且是有界的。

闭图像定理：如果T是闭的，定义域是X全空间，则T是有界的。

共鸣定理：如果一族有界线性算子在X上是逐点有界的，那它们也是一致有界的。

上述这几个是泛函分析中线性算子的基本定理。它们都还有在更广泛的线性距离空间，附加上一些条件的版本。有兴趣请看泛函分析的教科书。

线性算子的这些性质，让线性微分方程成为描述世界强有力的工具。在这种线性描述下，逆算子的存在，证明了一切的变化都可以由已知的原理、参数、边界和初始条件唯一地确定；逆算子的连续性保证了一切的误差都是可以无限地消减。这个关于无穷过程线性数学利器的成功应用，让人们相信世界是确定性的，无穷可分的，差不多是线性的，几乎忘记了为了能够应用这个利器，曾经省却了一些细节，作过了一些假设，即使非线性的研究也只往这方向靠，忽略本质不同难以想象的部分，直至非线性动力系统以混沌、分叉、孤立子突兀在眼前，打破了幻想，在数学上揭示了系统上不确定的机制。

三百多年前，微积分以函数为阶梯从无穷小分析的思路，把人们带进了想象中的无穷世界。由线性联系着微观机制和宏观的表现，线性系统的叠加原理所惠，让它成为研究动态和连续系统最强有力的工具。短短的三百年时间，研究函数科学的分析，成为数学最大的分支。在这无穷可分几乎是线性的世界里，数学分析是撰写自然律法的笔墨文书，是从事理工研究必不可少的工具。我们对世界的认知，其实是符号的象征和想象的产物，数学工具极大地影响着研究者对事物构造的想象和规律的理解，进而推及大众。计算机的出现，将可能改变世界的图像，影响着数学研究方向和对世界的认知。世界也许将回到有穷分立的结构，非线性将是主流，复杂和不确定系统或成为富饶的主题。但无论怎么改变，数学都是人们用逻辑来及远的工具，指使计算机的方向，描绘世界的画笔。现在的计算机在科研中，还基本是分析计算的工具，图像表达的机器和记忆搜索的助手。人们还未找到代替叠加原理超越线性，组合分立研究结果的方法，还在等待着一个革命性的思想，来指引怎样用计算机来描述，理解和控制我们的世界。在这之前，数学分析仍然统治着物理和工程的世界，理科生还离不开这时代战士必备的这个武器。

【扩展阅读】

1. 关肇直等，张恭庆，冯德兴，线性泛函分析入门，上海科学技术出版社，1979

2. 程代展，系统与控制中的近代数学基础，北京：清华大学出版社，2007 http://product.dangdang.com/9350967.html