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重修微积分9——泛函 精选

已有 17140 次阅读 2015-5-22 08:01 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 分析, 空间, 线性, 算子

算术是从一个或几个具体的数计算另一个数的学问,在这儿,数是已知和不变的。代数等式中有些数虽然未知,但其所指,仍是一个固定的数。在几百年前,只在几何中表示数量的对应,运动则代表着变化。几千年中的算术、几何和运动的研究,人们在三者间交叉借用形象来类比推理,直到1694年莱布尼茨终于用了函数这名词,抽象地表达变动的已知数到答案数之间,算法所对应的映射。其后近百年间,由约翰·伯努里和他的学生欧拉的推崇,最后到维尔斯特拉斯,确认了必须用函数的概念,把微积分建立在代数而不是几何的基础上。

函数,是我们从小学算术到中学要理解的第一个抽象概念,没过这坎的人,与数理绝缘,后面的课就不能理解了,对数学的认知停留在中世纪。初等微积分是在函数概念的基础上,对变动数极限运算的数学,牛顿称之为“流数术”,在有穷的世界窥测无穷的彼岸。近代分析建立在无穷空间的映射概念上,研究抽象空间结构和算子性质。由此俯视分析理论,能更抽象地构造数学模型,解决微分方程解和函数推广等等难题。理科生在这里,必须再过一个坎,走进抽象无穷的世界,才能理解现在的数学,而不是停留在二百年前的旧时光里。

算术的眼界局限在数域中。函数表达了数域中变量与映射值的对应关系。经典微积分用函数和极限的概念从数域,跨进实数和欧几里德空间。其运算都基于这个空间的性质。泛函分析将函数作为变量,研究它所在的空间和算子。在这里,一个函数也只看成集合上的一个点。

将讨论的对象抽象成集合中的点,点与点之间的相邻关系和点间运算对应关系,是集合上设定了的性质。数学的空间是定义有这些性质的集合,在这些设定条件下来讨论数学问题,而不再借助任何其他背景。在我们介绍过的空间里,由粗到精的包含关系顺序是:拓扑空间,T2空间,距离空间,赋范空间,巴拿赫空间,希尔伯特空间。这些空间都只是抽象的类,可在相应的各类里设定具体的拓扑、距离、范数或内积。L2l2空间,欧几里德空间,实数空间则是常见具体化的希尔伯特空间。初等微积分局限在实数空间和欧几里德空间里,泛函分析研究抽象的空间,特别是赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间的结构和线性运算性质。下面带你领略这里的风光。

两个距离空间中的映射称为算子。这篇只讨论赋范空间的线性算子。回顾一下赋范空间定义,它是线性空间,是以向量长度为范数导出了距离的距离空间。在这距离定义下,如果它对收敛还是完备的,则称为巴拿赫空间(Banach space)。大家熟悉的欧几里德空间$\mathbb{R}^n$,是有穷维的巴拿赫空间,其线性算子在基底下表示为矩阵。无穷维巴拿赫空间中线性算子的研究,是泛函分析的中心内容。

在分析中,函数是数与数的对应关系,是实数或复数间的映射,泛函则是以函数为自变量,对应于实数或复数值的映射。一般地说,从距离空间到数域的映射称为泛函。数域也是赋范空间,所以线性泛函也是一种线性算子。

例9.1:函数的定积分是个线性泛函。下面L(f)和K(f)都定义了$L^1[0,1]$空间上的一个泛函。(在[0,1]上绝对可积函数的空间上)

$L(f)= \int_0^1f(t)dt \;\;\; \forall f \in L^1[0,1]$     $K(f)= \int_0^1f(t)e^{-t}dt \;\;\; \forall f \in L^1[0,1]$

先介绍线性泛函的一些性质,以此来揭示赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间的结构。

对线性算子T,如果存在着一个正数c,对其定义域上所有的点都有$\left\|Tx \right \| \le c\left\| x \right \|$,称这个算子是有界的,这个c的下确界称为线性算子T的范数。对于线性算子,连续性与有界性是等价的。有界的算子总是把微小的变化映射成微小的差异,把有界的集合映射成有界的像。

泛函的连续性在应用上很重要,例如用一个收敛的函数序列来计算泛函作用下极限值,只有对连续泛函这样的逼近才有意义。欧几里德空间的线性泛函,可以表示成一个内积,它总是连续和有界的。但在赋范空间,并非所有的线性泛函都是有界或连续的。

例9.2:闭区间[0,1]上连续可微函数集合C1[0,1],以$\left\| x \right \| = \max_{0\le t \le 1}|x(t)|$ 为范数构成赋范空间。函数在0点的导数是这空间的一个线性泛函。它不是连续的。因为对函数序列$x_n(t)=\frac{1}{n}\sin(nt),\;n\ge 1$,有$\left\| x_n \right \|=\frac{1}{n} \rightarrow 0, \;\; n\rightarrow \infty$,即$x_n \rightarrow 0$,但是${x_n}'(0)=\cos(n0)=1, \;\; n\ge 1$ ,它并不趋于0。所以它不是连续的,也不是有界的。

在某些线性距离空间,甚至没有非零的有界线性泛函。但是对赋范空间,我们却有足够多的有界线性泛函。

Hahn-Banach延拓定理:如果赋范空间的线性子空间上,定义有一个有界线性泛函,那么可以把它延拓到全空间,延拓后的算子也是个有界线性泛函,在原来子空间的映射保持不变,而且它的范数与延拓前是一样的。

X中任何一个非零点x0,它的数乘张成一维的线性子空间,在这子空间上定义一个有界线性泛函,使得$f(x_0) = \left\| x_0 \right \|$,应用这个定理,可以将它延拓到全空间,并且有$ \left\| f \right \|=1$,这说明对于任何一个赋范空间,都有不比它向量少的有界线性泛函。

记赋范空间X上所有的有界线性泛函的集合为X*,不难验证X*在算子的范数下是一个巴拿赫空间。X*叫做X对偶空间,也称为共轭空间X*的对偶空间X**,自然也是个巴拿赫空间。那么X**X是什么关系?

对于X上的点x,可以定义X*上的泛函:$ L_x(f) = \overline{f(x)},\;\;  \forall f \in X^*$

显然,$L_x$是线性的,而且$\left\|L_x \right \| = \left\| x \right \|$,是有界的。这说明XX**间有个一一的,线性的,并且保持范数相等的映射,即X等价于X**的一个线性子空间。如果这个映射还是满的,即X等价于X**,则称为X自反的,记为X=X**,自反的赋范空间必定是个巴拿赫空间。

例9.3:函数空间$L^p[0,1] \;\; p > 1$是自反的,它上面的线性泛函$f(\cdot)$表示为

$f(x)=\int_0^1 x(t)\overline{y(t)}dt, \;\;\; x\in L^p[0,1],\; y \in L^q[0,1], \;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

它的对偶空间是$L^q[0,1] \;\; \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

自反巴拿赫空间与对偶空间互为有界线性泛函的关系,让我们联想起内积的关系。所以就用内积的符号来表示线性泛函,$f(x)= \left \langle x, f \right \rangle$,对它们间的线性性质与内积形式上完全一样,只不过这里左右矢量是在不同的空间。特别地,从线性算子范数的定义,有与内积完全相同的Schwarz不等式 $|\left \langle  x, y \rangle \right |  \le  \left \| x \right \|  \left \| y \right \| $

希尔伯特空间H是定义了内积,并以此导出范数的巴拿赫空间。由上面巴拿赫空间与对偶空间的内积表示,及Schwarz不等式,很自然地会猜测:H空间的对偶空间是否是它自己?确实如此。H中任何一点,都可以用内积定义H空间上的一个有界线性泛函,这说明HH*的子集。Riesz表现定理则证明,H空间上,任何一个有界线性泛函$f \in H^*$,都对应着空间中的一个点$y \in H$,使得$f(x)= \left \langle x, f \right \rangle, \;\;\; \forall x \in H$,而且$ \left\|f \right \|= \left\| y \right \|$,这说明H*H的子集。所以H=H*

Hahn-Banach延拓定理证明了每一个巴拿赫空间,它的有界线性泛函构成了它的对偶的巴拿赫空间,有界线性泛函算子间的作用可以用内积的式子来表示。Riesz表现定理则肯定了希尔伯特空间的对偶空间就是它自己。Hahn-Banach延拓定理可以放宽到,具有线性的距离空间附加上一些条件,泛函分析的教科书介绍这方面的内容。

距离空间中收敛的要求比较强,用泛函我们可以定义一种比较弱的“功能性”的收敛。

比如说,赋范空间X中的序列( xn)收敛于x0,指 $\lim_{n\rightarrow \infty}\left \|x_n - x_0 \right \|=0$

这有时称为强收敛弱收敛则定义为这序列对所有的有界线性泛函都有

$\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) = f(x_0), \;\;\; \forall f \in X^*$

X*中序列( fn) *收敛f0,则是满足

$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) = f_0(x), \;\;\; \forall x\in X$

显然强收敛隐含着弱收敛,弱收敛未必能强收敛,下面是个例子。

例9.4:希尔伯特H的任何正交归一基{ en },不难从向量在这个基上分解的无穷序列和中得到,$\lim_{n\rightarrow \infty}\left \langle x, e_n \right \rangle =0, \;\;\; \forall x\in H$

由Riesz表现定理得知,这表明这基的序列弱收敛于0,但是所有基向量的范数都是1,所以它不可能强收敛于0.

(待续)


【扩展阅读】

  1.   关肇直等,张恭庆,冯德兴,线性泛函分析入门,上海科学技术出版社,1979

  2. 程代展,系统与控制中的近代数学基础,北京:清华大学出版社,2007 http://product.dangdang.com/9350967.html





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