算术是从一个或几个具体的数计算另一个数的学问，在这儿，数是已知和不变的。代数等式中有些数虽然未知，但其所指，仍是一个固定的数。在几百年前，只在几何中表示数量的对应，运动则代表着变化。几千年中的算术、几何和运动的研究，人们在三者间交叉借用形象来类比推理，直到1694年莱布尼茨终于用了函数这名词，抽象地表达变动的已知数到答案数之间，算法所对应的映射。其后近百年间，由约翰·伯努里和他的学生欧拉的推崇，最后到维尔斯特拉斯，确认了必须用函数的概念，把微积分建立在代数而不是几何的基础上。

函数，是我们从小学算术到中学要理解的第一个抽象概念，没过这坎的人，与数理绝缘，后面的课就不能理解了，对数学的认知停留在中世纪。初等微积分是在函数概念的基础上，对变动数极限运算的数学，牛顿称之为“流数术”，在有穷的世界窥测无穷的彼岸。近代分析建立在无穷空间的映射概念上，研究抽象空间结构和算子性质。由此俯视分析理论，能更抽象地构造数学模型，解决微分方程解和函数推广等等难题。理科生在这里，必须再过一个坎，走进抽象无穷的世界，才能理解现在的数学，而不是停留在二百年前的旧时光里。

算术的眼界局限在数域中。函数表达了数域中变量与映射值的对应关系。经典微积分用函数和极限的概念从数域，跨进实数和欧几里德空间。其运算都基于这个空间的性质。泛函分析将函数作为变量，研究它所在的空间和算子。在这里，一个函数也只看成集合上的一个点。

将讨论的对象抽象成集合中的点，点与点之间的相邻关系和点间运算对应关系，是集合上设定了的性质。数学的空间是定义有这些性质的集合，在这些设定条件下来讨论数学问题，而不再借助任何其他背景。在我们介绍过的空间里，由粗到精的包含关系顺序是：拓扑空间，T2空间，距离空间，赋范空间，巴拿赫空间，希尔伯特空间。这些空间都只是抽象的类，可在相应的各类里设定具体的拓扑、距离、范数或内积。L²和l²空间，欧几里德空间，实数空间则是常见具体化的希尔伯特空间。初等微积分局限在实数空间和欧几里德空间里，泛函分析研究抽象的空间，特别是赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间的结构和线性运算性质。下面带你领略这里的风光。

两个距离空间中的映射称为算子。这篇只讨论赋范空间的线性算子。回顾一下赋范空间定义，它是线性空间，是以向量长度为范数导出了距离的距离空间。在这距离定义下，如果它对收敛还是完备的，则称为巴拿赫空间（Banach space）。大家熟悉的欧几里德空间$\mathbb{R}^n$，是有穷维的巴拿赫空间，其线性算子在基底下表示为矩阵。无穷维巴拿赫空间中线性算子的研究，是泛函分析的中心内容。

在分析中，函数是数与数的对应关系，是实数或复数间的映射，泛函则是以函数为自变量，对应于实数或复数值的映射。一般地说，从距离空间到数域的映射称为泛函。数域也是赋范空间，所以线性泛函也是一种线性算子。

例9.1：函数的定积分是个线性泛函。下面L(f)和K(f)都定义了$L^1[0,1]$空间上的一个泛函。（在[0,1]上绝对可积函数的空间上）

$L(f)= \int_0^1f(t)dt \;\;\; \forall f \in L^1[0,1]$     $K(f)= \int_0^1f(t)e^{-t}dt \;\;\; \forall f \in L^1[0,1]$

先介绍线性泛函的一些性质，以此来揭示赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间的结构。

对线性算子T，如果存在着一个正数c，对其定义域上所有的点都有$\left\|Tx \right \| \le c\left\| x \right \|$，称这个算子是有界的，这个c的下确界称为线性算子T的范数。对于线性算子，连续性与有界性是等价的。有界的算子总是把微小的变化映射成微小的差异，把有界的集合映射成有界的像。

泛函的连续性在应用上很重要，例如用一个收敛的函数序列来计算泛函作用下极限值，只有对连续泛函这样的逼近才有意义。欧几里德空间的线性泛函，可以表示成一个内积，它总是连续和有界的。但在赋范空间，并非所有的线性泛函都是有界或连续的。

例9.2：闭区间[0,1]上连续可微函数集合C¹[0,1]，以$\left\| x \right \| = \max_{0\le t \le 1}|x(t)|$ 为范数构成赋范空间。函数在0点的导数是这空间的一个线性泛函。它不是连续的。因为对函数序列$x_n(t)=\frac{1}{n}\sin(nt),\;n\ge 1$，有$\left\| x_n \right \|=\frac{1}{n} \rightarrow 0, \;\; n\rightarrow \infty$，即$x_n \rightarrow 0$，但是${x_n}'(0)=\cos(n0)=1, \;\; n\ge 1$ ，它并不趋于0。所以它不是连续的，也不是有界的。

在某些线性距离空间，甚至没有非零的有界线性泛函。但是对赋范空间，我们却有足够多的有界线性泛函。

Hahn-Banach延拓定理：如果赋范空间的线性子空间上，定义有一个有界线性泛函，那么可以把它延拓到全空间，延拓后的算子也是个有界线性泛函，在原来子空间的映射保持不变，而且它的范数与延拓前是一样的。

取X中任何一个非零点x₀，它的数乘张成一维的线性子空间，在这子空间上定义一个有界线性泛函，使得$f(x_0) = \left\| x_0 \right \|$，应用这个定理，可以将它延拓到全空间，并且有$ \left\| f \right \|=1$，这说明对于任何一个赋范空间，都有不比它向量少的有界线性泛函。

记赋范空间X上所有的有界线性泛函的集合为X*，不难验证X*在算子的范数下是一个巴拿赫空间。X*叫做X的对偶空间，也称为共轭空间。X*的对偶空间X**，自然也是个巴拿赫空间。那么X**与X是什么关系？

对于X上的点x，可以定义X*上的泛函：$ L_x(f) = \overline{f(x)},\;\;  \forall f \in X^*$

显然，$L_x$是线性的，而且$\left\|L_x \right \| = \left\| x \right \|$，是有界的。这说明X到X**间有个一一的，线性的，并且保持范数相等的映射，即X等价于X**的一个线性子空间。如果这个映射还是满的，即X等价于X**，则称为X是自反的，记为X=X**，自反的赋范空间必定是个巴拿赫空间。

例9.3：函数空间$L^p[0,1] \;\; p > 1$是自反的，它上面的线性泛函$f(\cdot)$表示为

$f(x)=\int_0^1 x(t)\overline{y(t)}dt, \;\;\; x\in L^p[0,1],\; y \in L^q[0,1], \;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

它的对偶空间是$L^q[0,1] \;\; \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

自反巴拿赫空间与对偶空间互为有界线性泛函的关系，让我们联想起内积的关系。所以就用内积的符号来表示线性泛函，$f(x)= \left \langle x, f \right \rangle$，对它们间的线性性质与内积形式上完全一样，只不过这里左右矢量是在不同的空间。特别地，从线性算子范数的定义，有与内积完全相同的Schwarz不等式 $|\left \langle  x, y \rangle \right |  \le  \left \| x \right \|  \left \| y \right \| $

希尔伯特空间H是定义了内积，并以此导出范数的巴拿赫空间。由上面巴拿赫空间与对偶空间的内积表示，及Schwarz不等式，很自然地会猜测：H空间的对偶空间是否是它自己？确实如此。H中任何一点，都可以用内积定义H空间上的一个有界线性泛函，这说明H是H*的子集。Riesz表现定理则证明，H空间上，任何一个有界线性泛函$f \in H^*$，都对应着空间中的一个点$y \in H$，使得$f(x)= \left \langle x, f \right \rangle, \;\;\; \forall x \in H$，而且$ \left\|f \right \|= \left\| y \right \|$，这说明H*是H的子集。所以H=H*。

Hahn-Banach延拓定理证明了每一个巴拿赫空间，它的有界线性泛函构成了它的对偶的巴拿赫空间，有界线性泛函算子间的作用可以用内积的式子来表示。Riesz表现定理则肯定了希尔伯特空间的对偶空间就是它自己。Hahn-Banach延拓定理可以放宽到，具有线性的距离空间附加上一些条件，泛函分析的教科书介绍这方面的内容。

距离空间中收敛的要求比较强，用泛函我们可以定义一种比较弱的“功能性”的收敛。

比如说，赋范空间X中的序列( x_n)收敛于x₀，指 $\lim_{n\rightarrow \infty}\left \|x_n - x_0 \right \|=0$

这有时称为强收敛，弱收敛则定义为这序列对所有的有界线性泛函都有

$\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) = f(x_0), \;\;\; \forall f \in X^*$

X*中序列( f_n) 弱*收敛于f₀，则是满足

$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) = f_0(x), \;\;\; \forall x\in X$

显然强收敛隐含着弱收敛，弱收敛未必能强收敛，下面是个例子。

例9.4：希尔伯特H的任何正交归一基{ e_n }，不难从向量在这个基上分解的无穷序列和中得到，$\lim_{n\rightarrow \infty}\left \langle x, e_n \right \rangle =0, \;\;\; \forall x\in H$

由Riesz表现定理得知，这表明这基的序列弱收敛于0，但是所有基向量的范数都是1，所以它不可能强收敛于0.

（待续）

【扩展阅读】

1.   关肇直等，张恭庆，冯德兴，线性泛函分析入门，上海科学技术出版社，1979

2. 程代展，系统与控制中的近代数学基础，北京：清华大学出版社，2007 http://product.dangdang.com/9350967.html