一元非负函数$f(x)$从a到b的定积分，可以很直观地看成是这函数与x轴中[a，b]区间所夹的面积。在几何上，牛顿很直观地将[a，b]分割成细小的区间$\Delta  x$，以此为宽度的小长方块来填充或覆盖逼近这个面积，$\sum _i f(x_i)\Delta x$，当$\Delta  x$趋于零时它趋于这曲线所围的面积，莱布尼茨形象地把这个极限记为：$\int _a^b f(x)dx$。多元函数的多重积分是类推到高维体积的度量。

面积和高维体积按照这样计算的本质就是勒贝格测度。积分作为描述物理世界的数学模型，这是它所要求的属性。测度的计算是将整体切割成规范的部分，测算累加而成。上述牛顿的定义是按纵条切割的算法，叫做黎曼积分。面积也可以按横条来切割，把函数的值域区间细分，$\sum _i  m(f^{-1}([y_i, y_i+\Delta y])) \Delta y$，算$\Delta y$ 趋于零时的极限，这个算法收敛的极限叫勒贝格积分。（数学语言的定义见【1】，直观见图，图像来自网络下载）

显然无论是用哪一种算法，它们计算所指的面积或体积是一样的，也应该相等的。将积分作为描述实践对象的数学模型，无论是用哪种测量计算方法，它们必须相等才有实用意义。这些面积或体积作为一种测度，如果按照不同的分割方法（即不同的积分定义）都有计算结果，在逻辑上也可证明是相等的。所以，如果黎曼积分和勒贝格积分都存在，它们相等。

如果函数具有负值，可以看成它是两个非负函数的相减。也就是两块面积体积或测度的相减，所以上述的结论也适用于一般的情况。

函数f在集合E上的勒贝格积分，记为$\int_E f d m$，这里E是可测集，f是E上可测函数，m是E上的测度。当E是个区间时，它通常也用与黎曼积分相同形式的式子。请注意，对勒贝格积分，它只是沿用黎曼积分的形式记号，不再具有莱布尼茨那种对dx的符号解读。在可以缺省所指的测度和集合时，甚至将它记为 $\int _E f $ 或 $\int f $

因为所有黎曼可积的也是勒贝格可积，而且相等，借用相同积分形式的记法不会引起混淆。当你读论文里公式推导，看到不满足初等微积分相关的定理条件，居然也通行，不是作者不严谨，或误以为应用上不需要严谨，而是式子里指的是勒贝格积分。

勒贝格积分中测度、可测集，可测函数的术语吓住了许多对它们不熟悉的人，不敢使用。其实只要理解这是和黎曼积分一样应用，并具有更宽松应用条件的数学模型就不难了。黎曼积分的区域是可测集，能进行黎曼积分的函数是可测函数。黎曼积分都可写成勒贝格积分。在细节上：当E是一维时这里的勒贝格测度就是长度，二维时是面积，高维时是体积类推；说f是E上的可测函数，其定义是在E中f函数值大于任给一个数所有点形成的集合，都是可测集。大致说来，可测集包含了非数学专业人可以想象到的任何集合。迄今所知的勒贝格不可测集，都是用选择公理构造出来的无穷世界里的怪胎。如果你在物理或工程应用中涉及勒贝格积分，除非得到惊人违反常识的结果，大约都可放心地认为，你用到的都是可测集和可测函数。你大约还没有足够的运气和能力，构造出不可测集或不可测函数来犯错误。

既然这两种积分都一样，为什么黎曼积分用了几百年后，被称为经典分析而渐渐淡出，上个世纪初发展的勒贝格积分被广泛应用，并看作是近代分析的开端呢？

简单的答案是：应用黎曼积分在积分区域、积分函数及参与其他无穷过程时，有许多限制，而勒贝格积分解决了这些麻烦。它们是对相同应用的不同测算方法，就像原来用木尺丈量土地，现在改为用测距仪来测量一样，更有效的新方法必然会取代旧的，需要的只是熟悉。观念转换需要时间来消化，所读课本需要更新，个人则像是跟了不同师傅学了不同的功夫而已。

观念的不同带来了眼界的不同。经典分析一直徘徊在有限的视野和无穷的梦魇中。站在有穷世界的岸边，用无穷过程来窥视对岸的实无穷。想尽量保持有限世界的直观和逻辑上的严谨。这种囿于有限世界的观念和对无穷实质的回避，使得触及无穷时缩手缩脚，理论结果支离破碎。而勒贝格积分则基于包括有限和实无穷集合的测度研究上，以逻辑为骨架来拟合修正过去经验形成的概念。只要善于纠正陈旧观念形成的误区，在新的直观下，便能欣赏更广阔世界中简洁一致的美。

测度是从0到无穷大的量度。在包含着正负无穷大的扩充实数里，它们间的四则运算除了规定0乘无穷大仍为0外，其他都与中学关于无穷大的知识一致，包括了无穷大减无穷大没有定义。在勒贝格积分中，函数和积分的值域都是定义在这扩充的实数上。不难想象和证明，对于非负可测函数，勒贝格积分都存在。可测函数可以分解成两个非负可测函数之差，所以只要它俩的积分不都是无穷大，可测函数的积分都存在，在应用上都有意义。注意勒贝格积分存在，包括了它的积分值可能是无穷大的情况，所以勒贝格积分通常都存在。而勒贝格可积函数指的是积分值是有界的，显然，勒贝格可积等价于它是绝对可积的。

黎曼积分是定义在有界区间上有界函数的积分，这时勒贝格积分也有界，所以黎曼可积，勒贝格也是可积的。勒贝格积分定义在任何可测集上，包括可以黎曼积分的区间，和无界的全空间。黎曼积分要推广到无界的区间，它通常被定义为有界区间上积分的对称上下限无穷的扩展，在想象上比较直观，但这是个有疵瑕的形式扩展。例如，对于在0点从-1到1的阶跃函数，广义黎曼积分值是0，勒贝格积分不存在，对于周期函数也是如此。有些书上作为黎曼可积，勒贝格不可积的例子。但阶跃函数的广义黎曼积分，不满足平移不变性，若坐标向左或右平移一点，它的黎曼积分值就不同了。对周期函数如果黎曼积分的上下界不是对称地无穷扩展，它们的极限积分值也不一样。这用于描述物理世界，对应着测量的坐标变化和计算的方法不同，则意味着测算物理量的不同。所以对应于数学模型描述的对象，勒贝格不可积的结论正确地反映了这种不可计量的情况，广义黎曼积分则给出误导的答案。在推广到无穷的区域，广义的黎曼积分无论如何定义都有疵瑕。

黎曼积分最大的问题是，在与取极限、无穷级数、多重积分等运算的交换顺序，必须在很严格的条件下方为可行，这在应用上极不方便。实际上黎曼绝对可积的函数，在绝对值积分的范数下不是个完备的空间，这就像我们只在有理数域谈几何公式和代数应用，处处受到局限。从另一种观点来看，勒贝格积分可以定义为可积空间完备化的手段，它将函数绝对值黎曼积分为范数的计算方法更进，勒贝格可积函数是包含了黎曼可积函数的巴拿赫空间L¹。【4】

为什么勒贝格积分会带来了这么多的便利？我们先用零测集牛刀小试。

黎曼积分在基本定义中假定被积的函数是连续的有界的，但应用中不一定都那么理想，可能有些间断点的“毛刺”，它的技术处理是分段来积分，然后将它们加起来，绕过这些疵点。在疵点是有限数目时，这样处理没有问题，但如果有无穷多个呢？

勒贝格积分告诉我们，如果这些疵点是零测集，把它们刨去换成任何数值，都不影响积分结果。黎曼积分和勒贝格积分如果同时存在，它们的数值必然相等。例如，Dirichlet函数D(x)，当x是有理数时为1，无理数时为0；它在[0,1]区间的勒贝格积分为0，但不是黎曼可积的。我们知道可数个点集是零测集，有理数是可数的，所以是零测集，将这些点的函数值都置换成0，便是恒为0的常数值函数，这时黎曼积分也是0. 用这个方法“修理”黎曼积分中有疵瑕的函数，便得出黎曼积分的一个重要定理：

区间[a,b]上函数f是黎曼可积的，必须且只需f在[a,b]上的不连续点是零测集。

在积分和概率计算中都可以忽略零测集，这引入了常见的一个数学术语“几乎处处”（almost everywhere），简记为“a.e.”。如果两个函数不相等点的集合是零测集，叫做它们是“几乎处处相等”，它们的勒贝格积分相等。因此可以用一个几乎处处相等“良好的”函数来替代它计算。一个函数除了有个零测集外是有界的，叫做“几乎处处有界”。对积分的所有定理，可以把有界函数的条件换成“几乎处处有界”。闭区间上黎曼可积的函数，当且仅当是几乎处处连续的。

黎曼积分积分号里函数序列取极限，要在很强的条件下才能与积分号交换顺序。而“勒贝格控制收敛定理”说：在积分的集合上，只要它们的绝对值几乎处处不大于一个勒贝格可积函数，它们就几乎处处逐点收敛到一个函数，函数序列取极限就可以与勒贝格积分号交换顺序。

对于几乎处处一致有界的可测函数序列，勒贝格有界收敛定理给出更宽松的收敛要求，它只要这序列是按测度收敛就可以与积分号交换顺序了。什么是“按测度收敛”呢？就是说，这序列函数与其极限函数不同之处，将会趋于零测集。

对于$\mathbb{R}^n$区间上勒贝格可积的函数，Fubini定理说，它的积分等于任何顺序的多重积分，也就是说可以任意地交换积分顺序。

牛顿—莱布尼茨公式描述了微分与积分的关系。记$F’(x) = f(x)$，有$ \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$，直观图像是，F曲线划分成n段折线，计算折线y轴上的增量与x轴增量之比，其导函数是当n趋近无穷大时，这些比值的极限。对这个导函数的积分，可以看成逼近导函数的这些折线比值与x轴增量的乘积累加的极限，很明显它是这些折线在y轴增量之和，因此等于这曲线在y轴数值之差。

在黎曼积分里这个定理要求被积函数在[a,b]上是连续的，或说原函数是连续可微的。在勒贝格积分里，我们有：原函数F在[a,b]上是绝对连续的，等价于它是勒贝格可积函数f的不定积分，且有牛顿—莱布尼茨公式关系。F几乎处处可导，其导数几乎处处等于f。这结论要比黎曼积分强多了，也更靠近直观想象。

仔细读过这篇文章，必要时将你应用积分推导的公式后面加个“（L）”，表明这是勒贝格积分，那么它“几乎处处”会让你免除许多严格条件限制的烦恼，和数学上不严谨的责难。

勒贝格积分除了与黎曼积分同样应用在$\mathbb{R}^n$上，且有更自由积分区域外，还通用于任何定义有测度的抽象集合，例如随机过程在概率空间上的积分。勒贝格积分极大地提高了你的数学武功，只是你想深入其中纵横自如，则要走出历史旧观念的局限，改练无穷世界的测度基本功。

（待续）

【扩展阅读】

1. 维基百科，勒貝格積分http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%92%E8%B2%9D%E6%A0%BC%E7%A9%8D%E5%88%86

2. 维基百科，维塔利集合http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E5%A1%94%E5%88%A9%E9%9B%86%E5%90%88

3. 维基百科，微积分基本定理http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86

4. 关肇直等，张恭庆，冯德兴，线性泛函分析入门，上海科学技术出版社，1979